Các số tự nhiên từ 1 tới 30 được viết liền nhau theo thứ tự từ lớn đến bé để tạo thành số:
Tìm số dư của số trên khi chia cho 13.
----------
Các bạn trình bày lời giải đầy đủ của mình vào ô Gửi Ý kiến phía dưới. Mười bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 2 tháng VIP của Online Math. Giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 31/7/2020. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Sáu ngày 31/7/2020.
-----------
Rất tiếc tuần này chưa có bạn nào có câu trả lời đúng. Hy vọng các bạn sẽ tiếp tục thử sức ở các bài toán tiếp theo.
Đáp án:
Với mỗi số tự nhiên có hai chữ số n, ta có:
\(\overline{\left(n+2\right)\left(n+1\right)n}=10000\left(n+2\right)+100\left(n+1\right)+n\)
\(\equiv3\left(n+2\right)+9\left(n+1\right)+n\equiv13n+15\equiv2\left(mod13\right)\)
Lại có \(10^6\equiv1000^2\equiv\left(-1\right)^2\equiv1\left(mod13\right)\).
Suy ra \(302928...1110\equiv302928.10^{36}+272625.10^{30}+...+121110\left(mod13\right)\)
\(\equiv302928+272625+...+121110\left(mod13\right)\)
\(\equiv7\times2\left(mod13\right)\equiv1\left(mod13\right)\)
Ta lại có:
\(987654321\equiv987.10^6+654.10^3+321\left(mod13\right)\)
\(\equiv987.1000^2+654.1000+321\left(mod13\right)\)
\(\equiv987-654+321\left(mod13\right)\)
\(\equiv654\left(mod13\right)\equiv4\left(mod13\right)\)
Suy ra \(302918...321=302928...1110.10^9+987654321\)
\(\equiv10^9+4\equiv1000^3+4\equiv\left(-1\right)^3+4\equiv3\left(mod13\right)\)
Vậy số dư cần tìm là 3.
