Đặt a/b =5k/3k;b/c=12/21=4m/7m;c/đ=6n/11n với k,n,m \(\in\) N *

Ta co : b=3k=4m(1).Đó b là số tự nhiên => 4m : 3 . Do (4,3) = 1 

=>m : 3

Ta co : c=7m=6n(2).CM tương tự ta có : m:6

m nho nhat , khac 0 ; chia het cho 3 va 6 =>m=6. khi do b=24

Thay b=24 vao (1) co : 3k = 24 => k=8

Khi do a=5 . k = 5.8 =40 

Thay m =6 vao (2) ta co c=7 . 6 =42 ,khi do 6n=42 =>n=7

Khi do d=k . 11 =7.11 =77

Vay :a=40 ; b=24 ; c=77; d=77

Đặt a/b =5k/3k;b/c=12/21=4m/7m;c/đ=6n/11n với k,n,m $\in$∈ N *

Ta co : b=3k=4m(1).Đó b là số tự nhiên => 4m : 3 . Do (4,3) = 1 

=>m : 3

Ta co : c=7m=6n(2).CM tương tự ta có : m:6

m nho nhat , khac 0 ; chia het cho 3 va 6 =>m=6. khi do b=24

Thay b=24 vao (1) co : 3k = 24 => k=8

Khi do a=5 . k = 5.8 =40 

Thay m =6 vao (2) ta co c=7 . 6 =42 ,khi do 6n=42 =>n=7

Khi do d=k . 11 =7.11 =77

Vay :a=40 ; b=24 ; c=77; d=77

trường hợp : ab = cd + 1 

ta có a+ b = c + d 

=> b.(a+b) = b(c+d) => a.b + b² = bc + bd mà ab = cd + 1 nên 

cd + 1 + b² = bc + bd => bc - cd + bd - b² = 1 => c(b - d) + b.(d - b) = 1 => (c - b)(b - d) = 1 . Vì a, b, c, d nguyên nên c - b và b - d cũng nguyên. do đó c - b = b - d = 1 hoặc c - b = b -d = -1 

c - b = b - d => c + d = 2.b Mà c + d = a+ b => 2.b = a+ b => b = a => đpcm

Trường hợp 2: ab = cd - 1: tương tự

Ta có:

\(a+b=c+d\)

\(\Rightarrow d=a+b-c\)

Vì \(ab\) là số liền sau của \(cd\) nên \(ab-cd=1\)

Mà \(d=a+b-c\) nên ta có:

\(ab-c.\left(a+b-c\right)=1\)

\(\Rightarrow ab-ac-bc+c^2\)

\(\Rightarrow a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)=1\)

\(\Rightarrow\left(a-c\right)\left(b-c\right)=1\)

\(\Rightarrow a-c=b-c\)

\(\Rightarrow a=b\)

Theo đề bài , ta có :a1+a2+a3+..........+a7=b1+b2+b3+...........+b7

Ví dụ : (a1-b1)(a2-b2)........(a7-b7) là số lẻ

=>a1-b1,a2-b2,...........,a7-b7 đều lẻ

=>(a1-b1)+(a2-b2)+...........+(a7-b7) lẻ

=>(a1+a2+..........+a7)-(b1+b2+............+b7) lẻ (A)

mà a1+a2+a3+..........+a7=b1+b2+b3+..............+b7<=>(a1+a2+......+a7)-(b1+b2+.....+b7)=0 (B)

vì (A)và(B) trái ngược vs nhau <=>tích trên là số chẵn

a^3-b^3-c^3=3abc lớn hơn 0 suy ra a lớn hơn b;a lớn hơn c

suy ra 2a lớn hơn b+c

suy ra 4a lớn hơn 2(b+c)

suy ra 4 lớn hơn a

2(b+c)=a^2 chia hết cho 2

suy ra a chia hết cho 2

suy ra a=2 suy ra b=c=1

Ta có: \(a,b,c\in Z+\)

=>  abc>0 =>3abc>0

=>a³-b³-c³>0

=>\(\hept{\begin{cases}a>b\\a>c\end{cases}}\) 

=>\(a+a>b+c\)  

=>  ​\(2a>b+c\)​

=>\(4a>2\left(b+c\right)\)

=>\(4a>a^2\)=>\(4>a\)(1)

Mà a²=2(b+c) (*) chia hết cho 2 =>a chia hết cho 2     (2)

Từ (1) và (2) => a=2

Thay a=2 vào (*) =>\(b+c=2\), mà \(b,c\in Z+\) =>b=c=1

KL: (a,b,c)=(2,1,1)

Vì a là số chia hết cho 9 mà b là tổng các chữ số của a nên b chia hết cho 9.Tương tự ta có c;d cũng chia hết cho 9 và đương nhiên khác 0.Vì a gồm 2004 chữ số mà mỗi chữ số không vượt quá 9 nên b không vượt quá:   2004x9=18036.Do đó b không quá 5 chữ số và c<9x5=45

Nhưng c là số chia hết cho 9 và khác 0 nên c có thể là: 9;18;27;36.Dù trường hợp nào xảy ra ta cũng có d chia hết cho 9

Bài của Thảo: Sửa kết luận c = 9 ; 18; 27; 36 => d luôn bằng 9

Giả sử p ; p+4 ; p+8 là ba số nguyên tố.

Ta thấy p \(\ne\) 2, vì nếu p = 2 thì p + 4 = 6 và p+  8 = 10 là hợp số.

Xét p = 3 thì 3; 17; 11 là bộ ba số nguyên tố mà hiệu của ba số liên tiếp bằng 4.

Xét p > 3 thì p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k \(\in\) N)   [kiến thức về số nguyên tố lớn hơn 3]

Loại p = 3k + 1 vì khi đó p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 8 = 3k + 3.3 = 3.(k+3) chia hết cho 3, là hợp số.

Loại p = 3k + 2 vì khi đó p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3k + 3.2 = 3.(k + 2) chia hết cho 3, là hợp số.

Vậy chỉ có duy nhất bộ ba số nguyên tố 3; 7; 11 thỏa mãn đề bài.

Suy ra điều phải chứng minh.

Bạn hỏi câu này, mọi người và O-l-M chọn câu trả lời của mình đi mà để mình còn có hứng giải tiếp !

Ta có: 
1² = 1. Suy ra: 1² có chữ số tận cùng là 1
2² = 4. Suy ra: 2² có chữ số tận cùng là 4
3² = 9. Suy ra: 3² có chữ số tận cùng là 9
4² = 16. Suy ra: 4² có chữ số tận cùng là 6
5² = 25. Suy ra: 5² có chữ số tận cùng là 5
6² = 36. Suy ra: 6² có chữ số tận cùng là 6
7² = 49. Suy ra: 7² có chữ số tận cùng là 9
8² = 64. Suy ra: 8² có chữ số tận cùng là 4
9² = 81. Suy ra: 9² có chữ số tận cùng là 1
10² = 100. Suy ra: 10² có chữ số tận cùng là 0
11² = 121. Suy ra: 11² có chữ số tận cùng là 1
Suy ra: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² + 10² có chữ số tận cùng là: 1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 4 + 1 + 0 = 45
Ta có: 1010 : 10 = 201. Suy ra: 1² + 2² + … + 2009² + 2010² có chữ số tận cùng là: 5
Ta lại có: 2011² + 2012² + … + 2016² + 2017² có chữ số tận cùng là: 1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 = 40
Suy ra: 1² + 2² + 3² + … 2016² + 2017² có chữ số tận cùng là: 5

2737280785

Ta có: 
1² = 1. Suy ra: 1² có chữ số tận cùng là 1
2² = 4. Suy ra: 2² có chữ số tận cùng là 4
3² = 9. Suy ra: 3² có chữ số tận cùng là 9
4² = 16. Suy ra: 4² có chữ số tận cùng là 6
5² = 25. Suy ra: 5² có chữ số tận cùng là 5
6² = 36. Suy ra: 6² có chữ số tận cùng là 6
7² = 49. Suy ra: 7² có chữ số tận cùng là 9
8² = 64. Suy ra: 8² có chữ số tận cùng là 4
9² = 81. Suy ra: 9² có chữ số tận cùng là 1
10² = 100. Suy ra: 10² có chữ số tận cùng là 0
11² = 121. Suy ra: 11² có chữ số tận cùng là 1
Suy ra: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² + 10² có chữ số tận cùng là: 1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 4 + 1 + 0 = 45
Ta có: 1010 : 10 = 201. Suy ra: 1² + 2² + … + 2009² + 2010² có chữ số tận cùng là: 5
Ta lại có: 2011² + 2012² + … + 2016² + 2017² có chữ số tận cùng là: 1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 = 40
Suy ra: 1² + 2² + 3² + … 2016² + 2017² có chữ số tận cùng là: 5

Dãy trên có tận cùng là 5

Ta có a² - 25 < a² - 10 < a² - 7. Để (a² - 7)(a² - 10)(a² - 25) < 0 thì ta có 2 trường hợp :

TH1 : 1 thừa số âm và 2 thừa số dương

=> a² - 25 < 0 < a² - 10 < a² - 7\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-25< 0\\a^2-10>0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2< 25\\a^2>10\end{cases}}}\)=> a² = 16 => a² = -4 ; 4

TH2 : 3 thừa số đều âm

=> a² - 25 < a² - 10 < a² - 7 < 0 => a² - 7 < 0 => a² < 7 =>\(a^2\in\) {0 ; 1 ; 4} =>\(a\in\){0 ; -1 ; 1 ; -2 ; 2}

Vậy\(a\in\){-4 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4}

Xét \(a^2-25\ge0\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-7>0\\a^2-10>0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a^2-7\right)\left(a^2-10\right)\left(a^2-25\right)\ge0\left(l\right)\)

\(\Rightarrow a^2< 25\)

\(\Rightarrow a^2=\left(0,1,4,9,16\right)\)

Thế \(a^2=0\) \(\Rightarrow\left(a^2-7\right)\left(a^2-10\right)\left(a^2-25\right)=\left(-7\right)\left(-10\right)\left(-25\right)< 0\left(nhan\right)\)

Tương tự ta tìm được các giá trị a² thỏa đề bài là: 0, 1, 4, 16

\(\Rightarrow a=\left(-4,-2,-1,0,1,2,4\right)\)