ĐỀ bÀI \(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2m\left(x+\frac{1}{x}\right)-1=0\left(1\right)\)

đặt \(t=x+\frac{1}{x},\left|t\right|\ge2\)

ta có \(t^2-2mt-1=0\left(2\right)\)

PT(2) luôn có 2 nghiệm \(t_1< 0< t_2\)=> PT (1) có nghiệm khi zà chỉ khi PT(2) có ít nhất 1 nghiệm t sao cho \(\left|t\right|\ge2\)

hay ít nhất 2 số 2 zà -2 phải nằm giữa 2 nghiệm (t1) zà (t2) 

hay \(\orbr{\begin{cases}f\left(2\right)\le0\\f\left(-2\right)\le0\end{cases}=>\orbr{\begin{cases}3-4m\le0\\3+4m\le0\end{cases}=>\orbr{\begin{cases}m\ge\frac{3}{4}\\m\le-\frac{3}{4}\end{cases}}}}\)

#Quá Khứ . IS ! 

Đặt \(a=\sqrt[3]{7-x},b=\sqrt[3]{x-5}\Rightarrow a^3+b^3=2,a^3-b^3=12-2x\)

Ta có hệ: 

\(\hept{\begin{cases}\frac{a-b}{a+b}=\frac{a^3-b^3}{2}\\a^3+b^3=2\end{cases}}\Rightarrow\frac{a-b}{a+b}=\frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}\Rightarrow a^2+ab+b^2=a^2-ab+b^2\)

\(\Rightarrow ab=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=5\\x=7\end{cases}}}\)(thử lại thỏa mãn).

BĐT cần chứng minh tương đương với: 

\(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c}-\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ac}{b\left(b+c\right)}+\frac{ba}{c\left(c+a\right)}+\frac{cb}{a\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)

Ta có: 

\(\frac{ac}{b\left(b+c\right)}+\frac{ba}{c\left(c+a\right)}+\frac{cb}{a\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{a^2c^2}{abc\left(b+c\right)}+\frac{b^2a^2}{abc\left(c+a\right)}+\frac{c^2b^2}{abc\left(a+b\right)}\)

\(\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(a+b\right)+abc\left(b+c\right)+abc\left(c+a\right)}\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}\)

Bất đẳng thức cần chứng minh sẽ đúng nếu ta chứng minh được \(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)}\ge3\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)

Đặt \(ab=x,bc=y,ca=z\)suy ra ta cần chứng minh 

\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge3xy+3yz+3zx\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)(đúng) 

Vậy bất đẳng thức ban đầu là đúng. 

Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c\).

a, ĐK : \(x\ne-1;-2\)

 \(\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{2\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}-\frac{3\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}\)

Khử mẫu : \(2x+4-3x-3=x^2+x+2x+2\)

\(\Leftrightarrow-x+1=x^2+3x+2\Leftrightarrow-x^2-4x-1=0\)

giải delta nốt nhé ! 

b;c tương tự 

\(\text{áp dụng định lý viet ta có: }\)

\(x_1+x_2=2k;x_1x_2=2k^2+\frac{4}{k^2}-5\)

\(\Rightarrow E=4k^2\left(2k^2+\frac{4}{k^2}-5\right)=8k^4-20k^2+16\)

ta tìm min và max cuả

\(2k^4-5k^2+4\)

hay min và max của \(2k^4-5k^2\text{ thấy ngay: }max_{2k^4-5k^2}=\text{ vô hạn}\)

\(8\left(2k^4-5k^2\right)=16k^4-40k^2=\left(4k^2-5\right)^2-25\ge-25\)

dấu bằng bạn tự tìm