Gọi M , B là trung điểm của DE , EF

a) Xét hai tam giác vuông \(\Delta AEM\)và \(\Delta ADM\)có :

AM chung ; EM = DM

=> \(\Delta AEM=\Delta ADM\)( hai cạnh góc vuông )

=> AE = AD và \(\widehat{A2}\)\(=\widehat{A1}\)(1)

Chứng minh tương tự , ta có : AE = AF và \(\widehat{A4}\)\(=\widehat{A3}\)(2)

Từ (1) , (2) suy ra :

AE = AD = AF và \(\widehat{A1}+\widehat{A2}+\widehat{A3}+\widehat{A4}=2.\left(\widehat{A2}+\widehat{A3}\right)=2.90^O=180^O\)

=> AD = AF và D,A,F thẳng hàng

=> D và F đối xứng nhau qua A ( đpcm )

b) F đối xứng với E qua N => EN\(\perp\)AC , tương tự EM\(\perp\)EN

=> AMEN là hình chữ nhật => EM\(\perp\)EN

=>\(\Delta DEF\)là tam giác vuông tại E

c) Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta ABE\)ta có :

AB chung ; AD = AE ; \(\widehat{A1}=\widehat{A2}\)

=> \(\Delta ABD=\Delta ABE\)( c.g.c ) => BD = BE

Tương tự ta chứng minh được CE = CF

Suy ra : BD + CF = BE + CE = BC ( đpcm )

d) EN \(||\)AB => \(\widehat{E1}=\widehat{B1}\)mà \(\widehat{B1}=\widehat{B2}\) ( do \(\Delta ABD=\Delta ABE\)) và \(\widehat{E1}=\widehat{F1}\)

=> \(\widehat{B2}=\widehat{F1}\)

Lại có AB \(||\)EF => BD \(||\)CF

=> BDFC là hình thang ( CF , BD là hai cạnh đáy )

e) Để BDCF là hình bình hành thì CF = BD mà CF = CE ; BD = BE

=> CE = BE <=> E là trung điểm của BC

f) Để BDFC là hình chữ nhật thì BD\(\perp\)BC mà \(\widehat{B2}=\widehat{B1}\)

=> \(\widehat{B2}=\widehat{B1}=45^O\Rightarrow\Delta ABC\)vuông cân ở A

Đồng thời kết hợp với điều kiện để BDFC là hình bình hành tức E là trung điểm của BC

Khi đó BDFC sẽ là hình chữ nhật

a, \(\frac{2x-1}{5}-\frac{x-2}{3}=\frac{x+7}{15}\)

\(\Leftrightarrow\frac{6x-3}{15}-\frac{5x-10}{15}=\frac{x+7}{15}\)

Khử mẫu : \(6x-3-5x+10=x+7\)

\(\Leftrightarrow7+x=x+7\Leftrightarrow0=0\)( vip :') 

d, \(\frac{x+1}{2019}+\frac{x+2}{2018}=\frac{x+3}{2017}+\frac{x+4}{2016}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+1}{2019}+1+\frac{x+2}{2018}+1=\frac{x+3}{2017}+1+\frac{x+4}{2016}+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+2020}{2019}+\frac{x+2020}{2018}-\frac{x+2020}{2017}-\frac{x+2020}{2016}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2020\right)\left(\frac{1}{2019}+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2017}-\frac{1}{2016}\ne0\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=-2020\)

a,\(\frac{2x-1}{5}-\frac{x-2}{3}=\frac{x+7}{15}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3\left(2x-1\right)}{15}-\frac{5\left(x-2\right)}{15}=\frac{x+7}{15}\)

\(\Leftrightarrow6x-3-5x+10=x+7\)

\(\Leftrightarrow6x-3-5x+10-x-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(6x-5x-x\right)-\left(3-10+7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow0=0\)

Vậy....

Áp dụng định lý bơ du ta được : 

\(2^3+3.2^2+2a+5=8+12+2a+5=25+2a\)

Vậy \(f\left(x\right)=25+2a\)

Sửa lại đề: \(\frac{x^2+2}{x^3-1}+\frac{x+1}{x^2+x+1}+\frac{1}{1-x}\)

\(P=\frac{x^2+2}{x^3-1}+\frac{x+1}{x^2+x+1}+\frac{1}{1-x}\)

\(=\frac{x^2+2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{x^2-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(=\frac{x^2+2+x^2-1-x^2-x-1}{MTC}=\frac{x^2-x}{MTC}\)

\(=\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{x}{x^2+x+1}\)

BT <=> 

\(A=\frac{x+2}{x+3}-\frac{5}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}-\frac{1}{x-2}\)

\(=\frac{x^2-4}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-\frac{5}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}-\frac{x+3}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\frac{x^2-9-x-3}{MTC}=\frac{x^2-x-12}{MTC}\)

A = \(\frac{x+2}{x+3}\)\(-\frac{5}{X^2+X-6}\)\(+\frac{1}{2-X}\)

A= \(\frac{x+2}{x+3}\)\(-\frac{5}{\left(X-2\right)\left(X+3\right)}\)\(-\frac{1}{X-2}\)

A = \(\frac{\left(X+2\right)\left(X-2\right)}{\left(X-2\right)\left(X+3\right)}\)\(-\frac{5}{\left(X-2\right)\left(X+3\right)}\)\(-\frac{X+3}{\left(X-2\right)\left(X+3\right)}\)

A= \(\frac{\left(X+2\right)\left(X-2\right)-5-\left(X+3\right)}{\left(X-2\right)\left(X+3\right)}\)

A= \(\frac{X-4-5-X-3}{\left(X-2\right)\left(X+3\right)}\)

A= \(-\frac{12}{\left(X-2\right)\left(X+3\right)}\)

Sửa đề : \(x^2-y^2+x-y\)

\(=\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x+y+1\right)\)

hay sửa như này =)) 

\(x^2-y^2-x-y=\left(x-y\right)\left(x+y\right)-\left(x+y\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(x-y-1\right)\)

\(x^2-y^2+x-y\)

\(=\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x+y+1\right)\)