Đặt \(a=\frac{x^2}{z},\text{ }b=\frac{y^2}{z}\) thì \(z=\sqrt{x^4+y^4}\) và x, y, z > 0

Ta cần chứng minh: \(z\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)-\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2\ge2\sqrt{2}\)

Tương đương: \(\sqrt{x^4+y^4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\ge\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2+2\sqrt{2}\)

Sau cùng ta cần chứng minh: \(\frac{2\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge0\)

Xong.

Nhân tiện, với cùng điều kiện như trên thì bất đẳng thức sau đây đúng với mọi \(k\le1\):  

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge k\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2+2\sqrt{2}\)

+) k = 1 đã được chứng minh.

+) k = 0 quá quen thuộc.

+) k < 0 thì yếu hơn k = 0.

Cách 1:Giả sử \(a=max\left\{a;b;c\right\}\Rightarrow1-3a\le0\)

Ta có:

\(P=a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)

\(=ab+bc+ca-3abc\)

\(=a\left(b+c\right)+bc\left(1-3a\right)\)

\(\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}+0=\frac{1}{4}\)

Đẳng thức xảy ra tại \(a=b=\frac{1}{2};c=0\)

Cách 2:

Ta sẽ đi chứng minh \(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\le\left(a+b+c\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\Sigma a^2b+\Sigma ab^2-12abc\le\Sigma a^3+3\Sigma a^2b+3\Sigma ab^2+6abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge\Sigma a^2b+\Sigma ab^2-18abc\)

Theo Schur thì \(a^3+b^3+c^3\ge\Sigma a^2b+\Sigma ab^2+3abc\ge\Sigma a^2b+\Sigma ab^2-18abc\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{4}\) tại a=b=¹/₂ ; c=0 và các hoán vị

Cách 3:

\(\frac{1}{4}-P=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{4}-\Sigma a^2b-\Sigma ab^2\)

\(=\frac{1}{4}\left(a^3+b^3+c^3-\Sigma a^2b-\Sigma ab^2+3abc\right)+\frac{3}{4}abc\ge0\) ( đúng theo Schur )

Vậy \(P\le\frac{1}{4}\)

Nhớ không nhầm thì hình như trong này có 1 cách của tth_new nhé ! 

a) ĐK: \(x\ge0;x\ne1\)

Ta có: \(x-1=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\)

\(x+\sqrt{x}-2=\left(x-1\right)+\left(\sqrt{x}-1\right)=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)\)

=> \(P=\frac{3\left(\sqrt{x}+1\right)+\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}:\frac{x+2-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}:\frac{2+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

b) \(P=\sqrt{x}-1\)

<=> \(\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1\)

<=> \(x-4\sqrt{x}-1=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=2+\sqrt{5}\\\sqrt{x}=2-\sqrt{5}< 0\left(loại\right)\end{cases}}\)

<=> \(x=9+4\sqrt{5}\)thỏa mãn

a) ĐK: \(x\ge0;x\ne1\)

Trước tiên chúng ta tính: 

\(1-x\sqrt{x}=1-\left(\sqrt{x}\right)^3=\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}+x\right)\)

\(1+x\sqrt{x}=1+\left(\sqrt{x}\right)^3=\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}+x\right)\)

khi đó:

P = \(\left(1+\sqrt{x}+x+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}+x-\sqrt{x}\right)\)

\(=\left(x+2\sqrt{x}+1\right)\left(x-2\sqrt{x}+1\right)\)

\(=\left(\sqrt{x}+1\right)^2.\left(\sqrt{x}-1\right)^2\)

\(=\left(x-1\right)^2\)

b) \(P< 7-4\sqrt{3}=4-2.2.\sqrt{3}+3=\left(2-\sqrt{3}\right)^2\)

=> \(\left(x-1\right)^2< \left(2-\sqrt{3}\right)^2\)

<=> \(\sqrt{3}-2< x-1< 2-\sqrt{3}\)

<=> \(\sqrt{3}-1< x< 3-\sqrt{3}\)

Đối chiếu điều kiện: \(\sqrt{3}-1< x< 3-\sqrt{3}\) và x khác 1.