Gọi số lớn là x; số bé là y

Hiệu của hai số là 272 nên x-y=272

Lấy số lớn chia số nhỏ thì được thương là 4, dư là 16 nên x=4y+16

x-y=272

=>4y+16-y=272

=>3y=256

=>\(y=\dfrac{256}{3}\)

\(x=4\cdot\dfrac{256}{3}+16=\dfrac{1072}{3}\)

Gọi số nhỏ là \(x\); \(x\in\) N

Khi đó, số lớn là: \(x\) + 272

Theo bài ra ta có phương trình: \(x\) + 272 = 4\(x\) + 16

                                                  4\(x\) -  \(x\) = 272 - 16

                                                  3\(x\) = 256

                                                    \(x\) = 256 : 3

                                                    \(x\) = \(\dfrac{256}{3}\) (loại)

Vậy không có hai số tự nhiên nào thỏa mãn đề bài. 

Gọi vận tốc ban đầu của xe máy và ô tô là `x` và `y (km`/`h)`

Điều kiện: `x;y > 0`

Do khi ô tô tăng thêm `20km`/`h` thì gấp đôi vạn tốc xe máy

`=> 2x = y+20`

`=> 2x - y = 20 (1) `

Do 2 tỉnh cách nhau `255 km`, 2 xe gặp nhau sau 3 giờ nên tổng vận tốc 2 xe là: 

`255 : 3 = 85 (km`/`h)`

hay `x + y = 85 (2) `

`(1)(2)` ta có hệ phương trình: 

`{(x+y=85),(2x-y=20):}`

`<=> {(3x=105),(2x-y=20):}`

`<=> {(x=35),(y=50):}`

Vậy vận tốc ban đầu của xe máy và ô tô là `35km`/`h` và `50km`/`h`

Gọi vận tốc của xe máy là x(km/h), vận tốc của ô tô là y(km/h)

(Điều kiện: x>0; y>0)

Tổng vận tốc của hai xe là 255:3=85(km/h)

=>x+y=85

Nếu vận tốc tăng thêm 20km/h thì sẽ gấp đôi vận tốc xe máy nên ta có: y+20=2x

=>y=2x-20

x+y=85

=>2x-20+x=85

=>3x=105

=>x=35(nhận)

=>y=85-35=50(nhận)

vậy: Vận tốc xe máy là 35km/h; vận tốc ô tô là 50km/h

Gọi chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh vườn lần lượt là `x` và `y (m)`

Điều kiện:` x;y > 0`

Do mảnh vườn có chu vi là `90m` nên tổng chiều dài và rộng của mảnh vườn là: 

`90 : 2 = 45 (m)`

hay `x+y = 45 (1)`

Diện tích ban đầu của mảnh vườn là: `xy (m^2)`

Khi tăng chiều dài `10m` và chiều rộng `5m` thì diện tích tăng ` 350m^2` nên: 

`(x+10)(y+5) - xy = 350`

`=> xy + 10y +5x + 50 - xy=350`

`=> 5x + 10y = 300`

`=> x + 2y = 60 (2)`

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

`{(x+y = 45),(x+2y=60):}`

`<=> {(y = 15),(x=30):}`

Vậy chiều dài và rộng ban đầu của mảnh vườn lần lượt là `30m` và `15m`

`sqrt{10 + 4sqrt{6}}`

`=sqrt{10 + 2. 2sqrt{6}}`

`=sqrt{sqrt{6}^2 + 2. 2sqrt{6} + 2^2}`

`=sqrt{(sqrt{6}+ 2)^2}`

`= sqrt{6}+ 2`

\(\sqrt{10+4\sqrt{6}}=\sqrt{4.\dfrac{5}{2}+4\sqrt{6}}=2\sqrt{\dfrac{5\sqrt{6}}{2}}\)

Bài 1:

a: a<b

=>a-b<0; b-a>0

2a+3b+1-5b-1

=2a-2b

=2(a-b)<0

=>2a+3b+1<5b+1

b: -5a+7b-10-2b+10=-5a+5b=-5(a-b)>0

=>-5a+7b-10>2b-10

Bài 2:

a:

a>b

=>a-b>0

20a+5b-20b-5a=15a-15b=15(a-b)>0

=>20a+5b>20b+5a

b: -3(a+b)-1+6b+1=-3a-3b+6b=3b-3a=3(b-a)<0

=>-3(a+b)+1>-6b-1

\(\left(x+2\right)^2-\left(2x+1\right)\left(x+2\right)=0\\ < =>\left(x+2\right)\left[\left(x+2\right)-\left(2x+1\right)\right]=0\\ < =>\left(x+2\right)\left(x+2-2x-1\right)=0\\ < =>\left(x+2\right)\left(1-x\right)=0\\ < =>\left[{}\begin{matrix}x+2=0\\1-x=0\end{matrix}\right.\\ < =>\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: ... 

\(\left(x+2\right)^2-\left(2x+1\right)\left(x+2\right)=0\)

=>(x+2)(x+2-2x-1)=0

=>(x+2)(-x+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+2=0\\-x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=1\end{matrix}\right.\)

Ta có: 

\(VT=\sqrt{4-x}+\sqrt{x-2}\le\sqrt{2\left[\left(\sqrt{4-x}\right)^2+\left(\sqrt{x-2}\right)^2\right]}=2\) (1)

\(VP=x^2-6x+11=\left(x^2-6x+9\right)+2=\left(x-3\right)^2+2\ge2\) (2) 

Từ (1) và (2) ta có dấu "=" xảy ra: 

\(\left\{{}\begin{matrix}4-x=x-2\\x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=6\\x=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=3\)

Vậy: .. 

VT dùng bất đẳng thức j bạn

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)

b: Xét ΔADB vuông tại D có DM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AD^2\left(1\right)\)

Xét ΔADC vuông tại D có DN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AD^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AN}{AM}\)

=>\(\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{AE}{AF}\)

=>\(\dfrac{AE}{AN}=\dfrac{AF}{AM}\)

=>\(AN\cdot AF=AM\cdot AE\)

c: Xét ΔANM có \(\dfrac{AE}{AN}=\dfrac{AF}{AM}\)

nên EF//MN