\(x^4+\left(x+1\right)\left(5x^2-6x-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+5x^3-x^2-12x-6=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3+6x^3-x^2-6x^2+6x^2\)

\(-6x-6x-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-x^3-x^2\right)+\left(6x^3-6x^2-6x\right)+\)

\(\left(6x^2-6x-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-x-1\right)+6x\left(x^2-x-1\right)+\)

\(6\left(x^2-x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+6x+6\right)\left(x^2-x-1\right)=0\)

\(TH1:x^2+6x+6=0\)

Ta có: \(\Delta=6^2-4.6=12\sqrt{\Delta}=\sqrt{12}\)

pt có 2 nghiệm:

\(x_1=\frac{-6+\sqrt{12}}{2}=-3+\sqrt{3}\)

\(x_2=\frac{-6-\sqrt{12}}{2}=-3-\sqrt{3}\)

\(TH2:x^2-x-1=0\)

Ta có: \(\Delta=1^2+4.1=5,\sqrt{\Delta}=\sqrt{5}\)

pt có 2 nghiệm:

\(x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)và \(x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)

Vậy pt có 4 nghiệm \(x_1=\frac{-6+\sqrt{12}}{2}=-3+\sqrt{3}\);\(x_2=\frac{-6-\sqrt{12}}{2}=-3-\sqrt{3}\);

\(x_3=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\);\(x_4=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)

Làm tốt rồi nhưng mà lớp 8 chưa học cách giải pt bậc 2 \(\Delta\). Thì chúng ta có thể:

VD TH1: \(x^2+6x+6=0\)

<=> \(x^2+6x+9-9+6=0\)

<=> \(\left(x+3\right)^2=3\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x+3=\sqrt{3}\\x+3=-\sqrt{3}\end{cases}}\)<=> \(\orbr{\begin{cases}x=-3+\sqrt{3}\\x=-3-\sqrt{3}\end{cases}}\)

tương tự Th2.

Ta có:

+) f(x) : (x+2) dư 3

=> Tồn tại đa thức g(x) sao cho:  \(f\left(x\right)=\left(x+2\right).g\left(x\right)+3\)(1)

+) f(x) : x² +2 dư 3x + 1.

=> Tồn tại đa thức h(x) sao cho: \(f\left(x\right)=\left(x^2+2\right).g\left(x\right)+3x+1\)(2)

+) Vì (x + 2)(x^2 + 2) có bậc là 3 => \(f\left(x\right):\left(x+2\right)\left(x^2+2\right)\) có dư là đa thức có bậc là 2 

Giả sự số dư là: \(ax^2+bx+c\)

=> Tồn tại đa thức k(x) sao cho: \(f\left(x\right)=\left(x^2+2\right)\left(x+2\right).k\left(x\right)+ax^2+bx+c\)

Có: \(f\left(x\right)=\left(x^2+2\right)\left(x+2\right).k\left(x\right)+a\left(x^2+2\right)+bx+c-2a\)

\(=\left(x^2+2\right)\left[\left(x+2\right).k\left(x\right)+a\right]+bx+c-2a\)(3)

Từ (2), (3) => \(bx+c-2a=3x+1\)=> \(\hept{\begin{cases}b=3\\c-2a=1\end{cases}}\)(4)

Có: \(f\left(x\right)=\left(x^2+2\right)\left(x+2\right).k\left(x\right)+\left(x+2\right).\left(ax+b-2a\right)+c+4a-2b\)

\(=\left(x+2\right)\left(\left(x^2+2\right).k\left(x\right)+\left(ax+b-2a\right)\right)+c+4a-2b\)(5)

Từ (1) và (5) => \(c+4a-2b=3\) (6)

Từ (4) và (6) => c = 11/3; a =4/3 ; b =3

Vậy số dư là: \(\frac{4}{3}x^2+3x+\frac{11}{3}\)

\(2x^2+2y^2+z^2+25-6y-2xy-8x+2z\left(y-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)-2z\left(x-y\right)+z+\left(x^2-8x+16\right)+\left(y^2-6y+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2-2z\left(x-y\right)+z^2+\left(x-4\right)^2+\left(y-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-z\right)^2+\left(x-4\right)^2+\left(y-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y-z=0\\x-4=0\\y-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}z=1\\x=4\\y=3\end{cases}}\)

Vậy \(x=4\), \(y=3\), \(z=1\)

\(4\left(3-5x\right)-\left(3x+1\right)\left(2-x\right)\)

\(=12x-20x^2-\left(6x+2-3x^2-x\right)\)

\(=12x-20x^2-\left(5x+2-3x^2\right)\)

\(=12x-20x^2-5x-2+3x^2\)

\(=-17x^2+7x-2\)