\(P=\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2}{x-1}\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-1+\sqrt{x}+1-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\sqrt{x}}=\dfrac{2\left(\sqrt[]{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{2}{\sqrt{x}}\)

a: \(\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}+\sqrt{3}\right)\cdot\sqrt{6}\)

\(=\sqrt{\dfrac{4}{3}\cdot6}+\sqrt{3\cdot6}\)

\(=\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)

b: \(\left(1-2\sqrt{5}\right)^2=\left(2\sqrt{5}-1\right)^2\)

\(=\left(2\sqrt{5}\right)^2-2\cdot2\sqrt{5}\cdot1+1\)

\(=21-4\sqrt{5}\)

c: \(2\sqrt{3}-\sqrt{27}=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}=-\sqrt{3}\)

d: \(\sqrt{45}-\sqrt{20}+\sqrt{5}\)

\(=3\sqrt{5}-2\sqrt{5}+\sqrt{5}\)

\(=4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=2\sqrt{5}\)

Để số học sinh nam và nữ trong các nhóm bằng nhau thì số học sinh nam bằng số học sinh nữ và phải là ước chung của 36 và 40

Ta có:

36 = 22 . 32 và 40 = 23 . 5

⇒ ƯC (36; 40) = 22 = 4

a) Có thể chia nhóm như sau:

+) Chia được 2 nhóm. Nhóm có 18 nam và 20 nữ.

+) Chia được 4 nhóm. Nhóm có 9 nam và 10 nữ.

b) Có thể chia nhiều nhất 4 nhóm với mỗi nhóm có 9 nam và 10 nữ.

  A = \(\dfrac{3^2}{4}\) + \(\dfrac{3^2}{18}\) + \(\dfrac{3^2}{54}\) + \(\dfrac{3^2}{108}\) + \(\dfrac{3^2}{180}\) + \(\dfrac{3^2}{270}\)

A = \(\dfrac{9}{4}\) + \(\dfrac{1}{2}\) + \(\dfrac{1}{6}\) + \(\dfrac{1}{12}\) + \(\dfrac{1}{20}\) + \(\dfrac{1}{30}\)

A = \(\dfrac{9}{4}\)  + \(\dfrac{1}{1.2}\) + \(\dfrac{1}{2.3}\) + \(\dfrac{1}{3.4}\) + \(\dfrac{1}{4.5}\) + \(\dfrac{1}{5.6}\)

A = \(\dfrac{9}{4}\) + (\(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{2}\) + \(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{3}\) + \(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{4}\) + \(\dfrac{1}{4}\) - \(\dfrac{1}{5}\) + \(\dfrac{1}{5}\) - \(\dfrac{1}{6}\))

A = \(\dfrac{9}{4}\) + \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{6}\)

A = \(\dfrac{54}{24}\) + \(\dfrac{24}{24}\) - \(\dfrac{4}{24}\)

A = \(\dfrac{78}{24}\) - \(\dfrac{4}{24}\)

A = \(\dfrac{37}{12}\)  

                   Giải:

Số kẹo mà tôi nhận được theo từng ngày lần lượt là các số thuộc dãy số sau:

          1; 2; 4; 8;..;

Tức là số kẹo tôi nhận được theo tùng ngày lần lượt thuộc dãy số sau:

           2⁰; 2¹; 2²;

Số mũ của các số thuộc các số trên lần lượt là:

         0; 1; 2; 3;...

Số thứ 30 của dãy số trên là: 1 x (30 - 1) +  0 = 29

Vậy số kẹo tôi nhận được lần lượt theo từng ngày là:

         2⁰; 2¹; 2²; 2³;..2²⁹

Tổng số kẹo mà tôi nhận được trong ba mươi ngày là:

        2⁰ + 2¹ + 2² + ... + 2²⁹

Đặt  A = 2⁰ + 2¹ + 2² + ... + 2²⁹

      2A = 2 + 2² + 2³ + ...+ 2³⁰

      2A - A = (2 + 2²+ 2³+...+2³⁰) - (1 + 2 + 2² + ... + 2²⁹)

       A = 2 + 2² + 2³ + ...+ 2³⁰ - 1 - 2 - 2² - ... - 2²⁹

      A = (2³⁰ - 1) + (2 - 2) + (2² - 2²) + (2³ - 2³) + ...+ (2²⁹ - 2²⁹)

      A = 2³⁰ - 1 + 0 + 0  + 0 + ... + 0

      A = 2³⁰ - 1

Câu hỏi này không phù hợp với lớp hai em nhé!

Ta có:

310 : 45 = 6 (dư 40)

Số xe 45 chỗ ngồi ít nhất để đủ chỗ cho 310 cổ động viên:

6 + 1 = 7 (xe)

B = 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰

Xét dãy số: 1; 2; 3;..;  10

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2 - 1 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (10 - 1) : 1 + 1 = 10 (số hạng)

Vì 10 : 2 = 5

Nhóm hai số hạng liên tiếp của tổng B vào nhau ta được:

B = (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... +(2⁹ + 2¹⁰)

B  =2.(1 + 2) + 2³.(1 + 2) + ...+ 2⁹.(1 + 2)

B = (1 +2).(2 + 2³ + ...+ 2⁹)

B  = 3.(2 + 2³ + ..+ 2⁹) ⋮ 3 (đpcm)

B = 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰

Xét dãy số: 1; 2; 3;..;  10

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2 - 1 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (10 - 1) : 1 + 1 = 10 (số hạng)

Vì 10 : 3 = 3 dư 1 nên nhóm ba hạng tử của B thành một nhóm thì ta được

B = (2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷) + (2⁸+ 2⁹ + 2¹⁰) + 2

B  = 2².(1 + 2  +2²) + 2⁵.(1 + 2 + 2²) + 2⁸.(1 + 2 + 2²) + 2

B =  (1 + 2 + 2²).(2² + 2⁵ + 2⁸) + 2

B = (1 + 2 + 4).(2² + 2⁵ + 2⁸) + 2

B  =(3 + 4).(2² + 2⁵ + 2⁸) + 2

B = 7.(2² + 2⁵ + 2⁸) + 2

B : 7 dư 2

Chứng minh B chia hết cho 7 là điều không thể xảy ra. 

3¹⁰ hay như nào em ơi?

          Đây là toán nâng cao chuyên đề bội ước, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau. 

          45 = 3².5¹

Vì 45 là ước  chung lớn nhất của A = 3^a.5³ và 3³.5^b

Nên \(\left\{{}\begin{matrix}3^a=3^2\\5^b=5^1\end{matrix}\right.\)

        ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)

Vậy a + b = 2 + 1 = 3

\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+abc}\le\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)+abc}=\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
tương tự với các hạng tử còn lại, ta được
\(Vetrai\le\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)\left(\dfrac{1}{a+b+c}\right)=\dfrac{a+b+c}{abc}\cdot\dfrac{1}{a+b+c}=\dfrac{1}{abc}\)
dấu bằng xảy ra khi a=b=c