Câu 8:
a) Ta có:
 - Góc BFC và góc BEC cùng nhìn cạnh BC dưới hai góc vuông (do BF và BE là đường cao), suy ra tứ giác BFEC nội tiếp.
Tứ giác CDHE nội tiếp vì:
- Góc CHD và góc CED cùng nhìn cạnh CD dưới hai góc vuông (do CF và DE là đường cao), suy ra tứ giác CDHE nội tiếp.

b) Theo định lý Pascal, ta có:
- Giao điểm của AH và BE là H.
- Giao điểm của HG và EK là I (do HI//DE và DE cắt EK tại I).
- Giao điểm của GB và KA là J (do HJ//DF và DF cắt KA tại J).
Vì H, I, J thẳng hàng, theo định lý Pascal, điểm K cũng phải nằm trên đường thẳng này, suy ra I, J, K thẳng hàng.

c) Ta có:
- CF là tiếp tuyến của (O) tại C (do CF là đường cao và F là tiếp điểm).
- CL là dây cung (do L nằm trên (O)).
Vì góc CFL là góc tạo bởi tiếp tuyến CF và dây cung CL, nên góc CFL bằng góc LCO (góc nội tiếp cùng chắn cung CL). Tương tự, góc LFC bằng góc LCO. Do đó, C, F, L thẳng hàng.
Ta có:
- Góc ANG bằng góc AGH (do HI//DE và HJ//DF).
- Góc AGH bằng nửa góc AOH (góc ở tâm cùng chắn cung AH).
Vì AH là đường kính của (O), nên góc AOH là góc vuông. Do đó, góc AGH là \(\dfrac{1}{2}\) góc vuông, suy ra tam giác AHG vuông tại H. Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác AHG, ta có:

\(AN\cdot AG=AH^2\)

Lời giải:
Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=4$

$x_1x_2=2$
Ta có:
$P=\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2}+2024$
$=\frac{x_2^2-x_1^2}{(x_1x_2)^2}+2024$
$=\frac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{(x_1x_2)^2}+2024$
$=\frac{4(x_2-x_1)}{2^2}+2024$

$=x_2-x_1+2024$
Vì $x_1>x_2$ nên $x_2-x_1<0$. Do đó:

$x_2-x_1=-|x_1-x_2|=-\sqrt{(x_1-x_2)^2}=-\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$

$=-\sqrt{4^2-4.2}=-2\sqrt{2}$

Do đó: $P=-2\sqrt{2}+2024$

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=4\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2\end{matrix}\right.\)

\(x_1>x_2\)

=>\(x_1-x_2>0\)

\(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

\(=4^2-4\cdot2=8\)

=>\(x_1-x_2=2\sqrt{2}\)(do x1-x2>0)

\(P=\dfrac{1}{x_1^2}-\dfrac{1}{x_2^2}+2024\)

\(=\dfrac{x_2^2-x_1^2}{\left(x_1x_2\right)^4}+2024\)

\(=\dfrac{\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)}{2^4}+2024\)

\(=\dfrac{\left(x_2-x_1\right)\cdot4}{16}+2024=\dfrac{\left(x_2-x_1\right)}{4}+2024\)

\(=\dfrac{-2\sqrt{2}}{4}+2024=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+2024=\dfrac{4048-\sqrt{2}}{2}\)

Lời giải:

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=4$

$x_1x_2=2$

Khi đó:

$P=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+2024$

$=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}+2024$
$=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}+2024$

$=\frac{4^2-2.2}{2^2}+2024=2027$

giải giúp e câu này với ạ 

Lời giải:

Gọi biểu thức vế trái là $A$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$A+3=\frac{a+b+c+12}{a+6}+\frac{c+a+8+b+4}{b+4}+\frac{a+b+10+c+2}{c+2}$

$=(a+b+c+12)(\frac{1}{a+6}+\frac{1}{b+4}+\frac{1}{c+2})$

$\geq (a+b+c+12).\frac{9}{a+6+b+4+c+2}$

$=\frac{9(a+b+c+12)}{a+b+c+12}=9$

$\Rightarrow A\geq 6$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a+6=b+4=c+2$

Kết hợp với $a+b+c=12$ suy ra $a=2; b=4; c=6$

Lần sau bạn lưu ý gõ đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người đọc hiểu đề của bạn hơn nhé. 

hình lỗi rồi

Hình đâu ạ?

\(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+2+\sqrt{6}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}=1+\sqrt{2}\)

Lời giải:

Giả sử hai người thợ làm một mình xong việc trong lần lượt là $a$ và $b$ giờ.

Trong 1 giờ người 1 làm được $\frac{1}{a}$ công việc, người 2 làm được $\frac{1}{b}$ công việc.

Theo bài ra ta có:

\(\left\{\begin{matrix} \frac{16}{a}+\frac{16}{b}=1\\ \frac{3}{a}+\frac{6}{b}=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}=\frac{1}{24}\\ \frac{1}{b}=\frac{1}{48}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=24\\ b=48\end{matrix}\right.\) (giờ)