Cho xy+yz+xz<=3. Chứng minh 1/(1+xy)+1/(1+yz)+1/(1+xz)>=3/2
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-1\right)\)
\(=4-4m+4=-4m+8\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0
=>-4m+8>0
=>-4m>-8
=>m<2
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=2m^2+\left|m+3\right|\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2=2m^2+\left|m+3\right|\)
=>\(2m^2+\left|m+3\right|=2^2-5\left(m-1\right)\)
=>\(2m^2+\left|m+3\right|=4-5m+5=-5m+9\)
=>\(2m^2+\left|m+3\right|+5m-9=0\)(1)
TH1: -3<=m<2
(1) sẽ trở thành \(2m^2+m+3+5m-9=0\)
=>\(2m^2+6m-6=0\)
=>\(m^2+3m-3=0\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-3+\sqrt{21}}{2}\left(nhận\right)\\m=\dfrac{-3-\sqrt{21}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
TH2: m<-3
(1) sẽ trở thành \(2m^2-m-3+5m-9=0\)
=>\(2m^2+4m-12=0\)
=>\(m^2+2m-6=0\)
=>\(\left(m+1\right)^2=7\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}m=\sqrt{7}-1\left(loại\right)\\x=-\sqrt{7}-1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
a: Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM\(\perp\)SB tại M
Xét tứ giác SKAM có \(\widehat{SKA}+\widehat{SMA}=90^0+90^0=180^0\)
nên SKAM là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
ΔANB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔANB vuông tại N
=>BN\(\perp\)SN tại N
Xét ΔSMA vuông tại M và ΔSNB vuông tại N có
\(\widehat{MSA}\) chung
Do đó: ΔSMA~ΔSNB
=>\(\dfrac{SM}{SN}=\dfrac{SA}{SB}\)
=>\(SM\cdot SB=SA\cdot SN\)
Lời giải:
a. PT hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$:
$x^2-mx-1=0(*)$
Ta thấy: $\Delta (*)=m^2+4>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$
$\Rightarrow$ PT $(*)$ có 2 nghiệm pb với mọi $m$
$\Rightarrow (P), (d)$ cắt nhau tại 2 điểm pb với mọi $m$
b.
$x_1,x_2$ là 2 nghiệm của $(*)$. Áp dụng định lý Viet:
$x_1+x_2=m$
$x_1x_2=-1$
Khi đó:
$M=(y_1-1)(y_2-1)+2(x_1+x_2)+3=(mx_1+1-1)(mx_2+1-1)+2(x_1+x_2)+3$
$=m^2x_1x_2+2(x_1+x_2)+3=m^2(-1)+2m+3$
$=-m^2+2m+3=4-(m^2-2m+1)=4-(m-1)^2\leq 4$ do $(m-1)^2\geq 0$ với mọi $m$
Vậy $M_{\max}=4$. Giá trị này đạt tại $m-1=0\Leftrightarrow m=1$
Lời giải:
Giả sử năng suất dự định của tổ là $a$ sản phẩm/ ngày và làm trong $b$ ngày.
Theo bài ra ta có:
$ab=140$
$(a+4)(b-4)=140$
$\Leftrightarrow ab-4a+4b-16=140$
$\Leftrightarrow 140-4a+4b-16=140$
$\Leftrightarrow -a+b=4$
$\Leftrightarrow b=a+4$
Thay vào điều kiện $ab=140$ thì:
$a(a+4)=140$
$\Leftrightarrow a^2+4a-140=0$
$\Leftrightarrow (a-10)(a+14)=0$
$\Leftrightarrow a=10$ hoặc $a=-14$. Do $a>0$ nên $a=10$
Thực tế mỗi ngày tổ làm được: $a+4=10+4=14$ (sản phẩm)
Lời giải:
Giả sử theo kế hoạch mỗi ngày sản xuất $a$ sản phẩm và sản xuất trong $b$ ngày.
Theo bài ra ta có:
$ab=1100$
$(a+5)(b-2)=1100$
$\Leftrightarrow ab-2a+5b-10=1100$
$\Leftrightarrow 1100-2a+5b-10=1100$
$\Leftrightarrow 5b=2a+10$
Thay vào điều kiện $ab=1100$ thì:
$a.5b=5500$
$\Leftrightarrow a.(2a+10)=5500$
$\Leftrightarrow a(a+5)=2750$
$\Leftrightarrow a^2+5a-2750=0$
$\Leftrightarrow (a-50)(a+55)=0$
Do $a>0$ nên $a=50$
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng sản xuất 50 sản phẩm.
Gọi x (sản phẩm) là số sản phẩm theo dự định mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất (x > 0)
Số ngày sản xuất theo dự định: 1100/x (ngày)
Số sản phẩm thực tế mỗi ngày sản xuất được: x + 5 (sản phẩm)
Số ngày sản xuất thực tế: 1100/(x + 5) (ngày)
Theo đề bài, ta có phương trình:
1100/x - 1100/(x + 5) = 2
⇔ 1100(x + 5) - 1100x = 2x(x + 5)
⇔ 1100x + 5500 - 1100x = 2x² + 10x
⇔ 2x² + 10x - 5500 = 0
⇔ x² + 5x - 2750 = 0
⇔ x² - 50x + 55x - 2750 = 0
⇔ (x² - 50x) + (55x - 2750) = 0
⇔ x(x - 50) + 55(x - 50) = 0
⇔ (x - 50)(x + 55) = 0
⇔ x - 50 = 0 hoặc x + 55 = 0
*) x - 50 = 0
⇔ x = 50 (nhận)
*) x + 55 = 0
⇔ x = -55 (loại)
Vậy số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất theo kế hoạch là 50 sản phẩm
Lời giải:
Diện tích dùng để khâu quả bóng:
$4\times 3,14\times 3^2=113,04$ (cm2)
Gọi năng suất dự định là x(xϵN*;x<60)(bộ/ngày)
Năng suất thực tế là x+2(bộ/ ngày)
Thời gian dự định là 60/x(ngày)
Thời gian thực tế là 60/x -1(ngày)
Theo bài ra ta có phương trình:
(60/x-1).(x-2)=60
⇔x=10(t/m)
Số ngày dự định tổ đó hoàn thành công việc là 60/x=60/10=6(ngày)
Vậy...
Gọi số chi tiết máy tổ 1 sản xuất được trong tháng giêng là x(chi tiết)
(Điều kiện: \(x\in Z^+\))
Số chi tiết máy tổ 2 sản xuất được trong tháng giêng là:
900-x(chi tiết)
Số chi tiết máy tổ 1 làm được trong tháng II là:
\(x\left(1+15\%\right)=1,15x\)(chi tiết)
Số chi tiết máy tổ 2 làm được trong tháng II là:
\(\left(900-x\right)\cdot\left(1+10\%\right)=1,1\left(900-x\right)\)(chi tiết)
Tổng số chi tiết máy 2 tổ làm được trong tháng II là 1010 chi tiết nên 1,15x+1,1(900-x)=1010
=>0,05x+990=1010
=>0,05x=20
=>x=20:0,05=400(nhận)
Vậy: số chi tiết máy tổ 1 sản xuất được trong tháng giêng là 400(chi tiết)
số chi tiết máy tổ 2 sản xuất được trong tháng giêng là
900-400=500(chi tiết)
Lời giải:
Bổ sung đk $x,y,z\geq 0$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\geq \frac{9}{1+xy+1+yz+1+xz}=\frac{9}{xy+yz+xz+3}\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$