a.

Do MA, MB là các tiếp tuyến \(\Rightarrow\widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0\)

\(\Rightarrow A,B\) cùng nhìn OM dưới 1 góc vuông nên AOBM nội tiếp

b.

\(C_{\left(O\right)}=2\pi R=10\pi=31,42\left(cm\right)\)

Trong tam giác vuông OAM:

\(cos\widehat{AOM}=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{AOM}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AOB}=2\widehat{AOM}=120^0\)

\(\Rightarrow S_{OAB}=S_{\left(O\right)}.\dfrac{120}{360}=\dfrac{\pi.R^2}{3}=\dfrac{5^2.\pi}{3}\approx26,18\)

c.

Ta có \(CM=OM-OC=2R-R=R\)

\(\Rightarrow CM=OC\Rightarrow C\) là trung điểm OM

\(\Rightarrow AC\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông OAM

\(\Rightarrow AC=\dfrac{1}{2}OM=R=OA\)

Tương tự có BC là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông OBM

\(\Rightarrow BC=OC=R\)

\(\Rightarrow OA=AC=BC=OB\Rightarrow AOBC\) là hình thoi

Gọi D là giao điểm AB và OC \(\Rightarrow AD\perp OC\) (hai đường chéo hình thoi)

Trong tam giác vuông AOD:

\(sin\widehat{AOD}=\dfrac{AD}{OA}\Rightarrow AD=OA.sin\widehat{AOD}=5.sin60^0=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AB=2AD=5\sqrt{3}\) (cm)

\(\Rightarrow S_{AOBC}=\dfrac{1}{2}AD.OC=\dfrac{25\sqrt{3}}{2}\approx21,65\left(cm^2\right)\)

Gọi giá ban đầu của 1 đôi giày là x (ngàn đồng) với x>0

Số tiền anh phải trả cho đôi thứ hai là: \(x.\left(100\%-30\%\right)=0,7x\) (ngàn đồng)

Số tiền anh phải trả cho đôi thứ 3 là: \(\dfrac{x}{2}=0,5x\) (ngàn đồng)

Tổng số tiền anh phải trả cho cả 3 đôi giày là:

\(x+0,7x+0,5x=2,2x\) (ngàn đồng)

Do anh phải trả tổng cộng 1320 ngàn đồng nên ta có pt:

\(2,2x=1320\)

\(\Leftrightarrow x=600\) (ngàn đồng) hay \(600000\) đồng

Do đi 10km phải trả 30000, thay vào hàm số ta được:

\(30000x+b=10\) (1)

Do đi 15km phải trả 40000 đồng, thay vào hàm số ta được:

\(40000x+b=15\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}30000a+b=10\\40000a+b=15\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2000}\\b=-5\end{matrix}\right.\)

Hình đây em!

a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

ΔODE cân tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên OK\(\perp\)DE

Xét tứ giác ABKO có \(\widehat{ABO}=\widehat{AKO}=90^0\)

nên ABKO là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{ABD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BD

\(\widehat{BED}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

Do đó: \(\widehat{ABD}=\widehat{BED}\)

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot OA=AB^2\left(3\right)\)

Xét ΔABD và ΔAEB có

\(\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\)

\(\widehat{BAD}\) chung

DO đó: ΔABD~ΔAEB

=>\(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\)

=>\(AB^2=AE\cdot AD\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(AH\cdot AO=AE\cdot AD\)

c.

Do I là giao điểm 2 tiếp tuyến tại C và D, theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

\(\widehat{DOI}=\widehat{COI}\Rightarrow\widehat{DOI}=\dfrac{1}{2}\widehat{DOC}\) (1)

Gọi F là giao điểm BD và OQ

Ta có: \(QB=QD\) (do Q là giao 2 tiếp tuyến tại B và D)

\(OB=OD=R\) 

\(\Rightarrow OQ\) là trung trực của BD \(\Rightarrow OQ\perp BD\) tại F 

\(\Rightarrow\widehat{BFO}=\widehat{BHO}=90^0\Rightarrow BFHO\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{CBD}=\widehat{HOF}\) (cùng chắn HF) (2)

Mà \(\widehat{CBD}=\dfrac{1}{2}\widehat{DOC}\) (góc nt và góc ở tâm cùng chắn DC của (O))  (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{HOF}=\widehat{DOI}\)

\(\Rightarrow\widehat{QOD}+\widehat{DOH}=\widehat{AOI}+\widehat{DOH}\)

\(\Rightarrow\widehat{QOD}=\widehat{AOI}\) (đpcm)

Gọi số học sinh lớp 9a trong kì 1 là x(bạn)

(ĐK: \(x\in Z^+\))

Số học sinh lớp 9b trong kì 1 là 90-x(bạn)

Tổng số học sinh trong kì 2 là 90-2=88(bạn)

Số học sinh lớp 9A kì 2 là x-4(bạn)

Số học sinh lớp 9b kì 2 là 90-x+4-2=92-x(bạn)

Số học sinh lớp 9A kì 2 bằng 5/6 lần số học sinh lớp 9b nên ta có phương trình:

\(x-4=\dfrac{5}{6}\left(92-x\right)\)

=>x=44(nhận)

Vậy: Số học sinh lớp 9a kì 1  là 44 bạn

số học sinh lớp 9b kì 1 là 90-44=46 bạn

Đặt \(\left(a;2b;3c\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\)

\(M=xy-yz+zx\)

Ta có:

\(4M+1=4\left(xy-yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)^2\)

\(=6xy+6zx+x^2+y^2+z^2-2yz\)

\(=\left(y-z\right)^2+x\left(6y+6z+x\right)\ge0\) (do \(x;y;z\ge0\))

\(\Rightarrow4M+1\ge0\)

\(\Rightarrow M\ge-\dfrac{1}{4}\)

\(M_{min}=-\dfrac{1}{4}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\x=0\\y=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{6}\right)\)

Sửa đề: |x1|-|x2|=4

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=mx+m+1\)

=>\(x^2-mx-m-1=0\)(1)

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m-1\right)\)

\(=m^2+4m+4=\left(m+2\right)^2\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì \(\Delta>0\)

=>(m+2)^2>0

=>m+2<>0

=>m<>-2

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-m-1\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1-x_2\right|=4\)

=>\(\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=4\)

=>\(\sqrt{m^2-4\left(-m-1\right)}=4\)

=>\(\sqrt{\left(m+2\right)^2}=4\)

=>|m+2|=4

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+2=4\\m+2=-4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-6\end{matrix}\right.\)(2)

Khi m<>-2 thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{m-\sqrt{\left(m+2\right)^2}}{2}=\dfrac{m-m-2}{2}=-1\\x=\dfrac{m+\sqrt{\left(m+2\right)^2}}{2}=\dfrac{m+m+2}{2}=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=4\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\left|-1\right|-\left|m+1\right|=4\\\left|m+1\right|-\left|-1\right|=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\left|m+1\right|=1-4=-3\left(loại\right)\\\left|m+1\right|=4+1=5\end{matrix}\right.\)

=>|m+1|=5

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-6\end{matrix}\right.\)(3)

Từ (2),(3) suy ra m=-6

$abc\ge \left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)$

$\iff abc\ge \left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)$

$\iff 9abc\ge 12\left(ab+bc+ca\right)-27$

$\Rightarrow abc\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3$

$P\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\genfrac{}{}{0ex}{}{abc}{ab+bc+ca}=\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\genfrac{}{}{0ex}{}{abc}{ab+bc+ca}$

$\Rightarrow P\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{3}{ab+bc+ca}+\genfrac{}{}{0ex}{}{abc}{ab+bc+ca}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3+abc}{ab+bc+ca}$

$\Rightarrow P\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{3+\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Vũ Hải Nam ơi sai dấu bằng với nhầm a,b,c thỏa mãn đề bài rồi