(3 điểm) Cho đường tròn $\left( O \right)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Qua điểm $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ đến $\left( O \right)$ ($B,\,C$ là các tiếp điểm). Kẻ tia ${Ax}$ (nằm giữa hai tia ${AB, AO}$) cắt đường tròn tại $E$ và  $F$ ($E$ nằm giữa $A$ và $F$ ) .

a) Chứng minh rằng tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng $B{{A}^{2}}=AE.{AF}$ và $\widehat{{OEF}}=\widehat{{OHF}}$, với $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$.

c) Đường thẳng qua $E$ song song với $BF$ cắt đường thẳng $BC$ tại $K{.}$ Đường thẳng $AK$ cắt đường thẳng $BF$ tại $M.$ Chứng minh rằng $MC=2HF.$ 

30 người ngồi quanh một bàn tròn 30 chiếc ghế đánh số theo thứ tự từ 1 đến 10. Một số trong họ là hiệp sĩ, một số là kẻ lừa dối. Hiệp sĩ luôn nói thật còn kẻ lừa dối nói dối. Mỗi người có đúng một người bạn trong số những người khác. Hơn nữa, bạn của hiệp sĩ là kẻ lừa dối và bạn của kẻ lừa dối là hiệp sĩ. Mỗi người đều được hỏi: “Có phải bạn của anh đang ngồi cạnh anh không?”. 15 người ngồi ở vị trí lẻ trả lời: “Đúng”.

Tìm số người ngồi ở vị trí chẵn cũng trả lời: “Đúng”.

Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn a\(\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}\right)+b\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)+c\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=-2\)

a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)=−2

và a³+b³+c³=1. CMR  \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)

Cho tam giác nhọn $A B C$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $A D, BE, CF$ $(D \in B C, E \in AC, F \in AB)$ của tam giác cắt nhau tại $H, M$ là trung điểm của $B C$.
1. Chứng minh $A E H F$ là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh các đường thẳng $M E$ và $M F$ là các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $A E H F$.
3. Chứng minh $D E+D F \leq B C$.

Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)=−2a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)=−2

và a³+b³+c³=1. CMR  1a+1b+1c=1