a)Vì góc BAC và góc DAB là 2 góc kề bù 

Mà BAC=90°->DAB=180°-BAC=90°

Xét ∆ABC và ∆ABD 

-AB chung 

-AC=AD(gt)

-BAC =DAC(cmt)

->∆ABC=∆ABD(c.g.c)

b)Xét ∆MBD và ∆MBC

-BC=BD(Do ∆ABC=∆ABD cmt)

-AC =AD(gt)

->∆MBD=∆MBC(cạnh huyền cạnh góc vuông)

Gọi a, b, c lần lượt là số ngày làm việc của 3 máy.

\(\Rightarrow\) \(\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}\left(1\right)\)

Gọi x, y, z lần lượt là số giờ làm việc của 3 máy.

\(\Rightarrow\) \(\frac{x}{6}=\frac{y}{7}=\frac{z}{8}\left(2\right)\)

Gọi m, n, p lần lượt là số công suất của 3 máy.

\(\Rightarrow\) \(5m=4n=3p\) \(\Leftrightarrow\)\(\frac{m}{\frac{1}{5}}=\frac{n}{\frac{1}{4}}=\frac{p}{\frac{1}{3}}\left(3\right)\)

Mà \(axm+byn+czp=359\left(4\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right);\left(4\right)\) \(\Rightarrow\) \(\frac{axm}{\frac{18}{5}}+\frac{byn}{7}+\frac{czp}{\frac{40}{3}}=\frac{359}{\frac{359}{15}}=15\)

\(\Rightarrow\) \(axm=54;byn=105;czp=200\)

Vậy mõi máy xay được lần lượt số thóc là \(54\) tấn; \(105\) tấn; \(200\) tấn.

Ta có: \(A=\left(\dfrac{1}{4\cdot9}+\dfrac{1}{9\cdot14}+\dfrac{1}{14\cdot19}+...+\dfrac{1}{44\cdot49}\right)\cdot\dfrac{1-3-5-7-...-49}{89}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{1}{5}\cdot\left(\dfrac{5}{4\cdot9}+\dfrac{5}{9\cdot14}+\dfrac{5}{14\cdot19}+...+\dfrac{5}{44\cdot49}\right)\cdot\dfrac{1-3-5-7-...-49}{89}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{1}{5}\cdot\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{14}-\dfrac{1}{19}+...+\dfrac{1}{44}-\dfrac{1}{49}\right)\cdot\dfrac{1-3-5-7-...-49}{89}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{1}{5}\cdot\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{49}\right)\cdot\dfrac{1-3-5-7-...-49}{89}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{1}{5}\cdot\left(\dfrac{49-4}{4\cdot49}\right)\cdot\dfrac{1-3-5-7-...-49}{89}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{45}{196}\cdot\dfrac{1-3-5-7-...-49}{89}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{9}{196}\cdot\dfrac{1-3-5-7-...-49}{89}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{9}{196}\cdot\dfrac{-623}{89}=-\dfrac{9}{28}\)

A=\(\left(\frac{1}{4.9}+\frac{1}{9.14}+...+\frac{1}{44.49}\right)\).\(\frac{1-3-5-7-...-49}{89}\)

Đặt B=\(\left(\frac{1}{4.9}+\frac{1}{9.14}+...+\frac{1}{44.49}\right)\)

5B=\(5\left(\frac{1}{4.9}+\frac{1}{9.14}+...+\frac{1}{44.49}\right)\)

5B=\(\frac{5}{4.9}+\frac{5}{9.14} +...+\frac{5}{44.49}\)

5B=\(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{14}+...+\frac{1}{44}-\frac{1}{49}\)\(\frac{1}{49}\)

5B=\(\left(-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\right)+...+\left(-\frac{1}{44}+\frac{1}{44}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{49}\right)\)\(\frac{1}{49}\))

5B=\(\frac{1}{4}-\frac{1}{49}\)

B=\(\frac{\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{49}\right)}{5}\)=\(\frac{9}{196}\)

Đặt C= \(\frac{1-3-5-7-...-49}{89}\)

C=\(\frac{1-\left(3+5+...+49\right)}{89}\)

C=\(1-\left(49+3\right).24:2\)

C=\(-\frac{623}{89}=-7\)

Thay B;C vào A ta được A=\(\frac{9}{196}x\left(-7\right)=-\frac{9}{28}\)

HT

Đặt \(N=\left|x+1\right|+\left|x+7\right|=\left|x+1\right|+\left|-x-7\right|\ge\left|x+1-x-7\right|\)

\(\Rightarrow N\ge6\left(\text{*}\right)\)

Đặt \(M=6-\left(x+2\right)^2\Rightarrow6-\left(x+2\right)^2\le6\)

\(\Rightarrow M\le6\left(\text{*}\text{*}\right)\)

Từ (*) và (**) \(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(-x-7\right)\ge0;x=-2\)

Với \(x+1\ge0;-x-7\ge0\)

\(\Rightarrow x\ge-1;x\le-7\)

\(\Rightarrow-1\le x\le-7\) (Vô lý)

Với \(x+1\le0;-x-7\le0\)

\(\Rightarrow x\le-1;x\ge-7\)

\(\Rightarrow-7\le x\le-1\)

\(\Rightarrow x=-2\)

a) Xét  ΔBAK và ΔBKE có:

    AB=AE( gt )

   góc BAK= góc BEK (BK phân giác)

   AK cạnh chung

Do đó ΔBAK =ΔBKE (Cạnh huyền-Cạnh góc vuông)

--> BK=EK (2 cạnh tương ứng) (1)

b) Từ (1) Suy ra:

BAK=BEK( 2 góc tương ứng)

Mà BEK+CEK=180(Kề bù)

      90+CEK=180

---> CEK =180-90=90

Vậy EK Vuông góc với BC (ĐPCM)

c) 

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo BK và AE 

Xét ΔABO và ΔBOE có:

BA=BE(gt)

∠AVK=∠KBE(gt)

BO chung

=> ΔABO và ΔBOE(c-g-c)

=> AO=AE(2 cạnh tương ứng) (1)

∠BOA=∠BOE(2 góc tương ứng)(2)

Từ (1)(2)=> BK là đường trung trực của đoạn thẳng AE (đcpcm)

\(2\left(x-y\right)^2=\left(z-x\right)\left(z-y\right)\Leftrightarrow\frac{2\left(x-y\right)^2}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=1\)

\(\frac{2\left(z-y\right)^2}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\frac{\left(x-y\right)^2}{z\left(x-y\right)}=\frac{x-y}{z}\Rightarrow x-y=z\)