Cho \(a,b,c\)là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng \(abc\ge\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
AA
1
22 tháng 3 2021
Em chỉ biết làm \(\hept{\begin{cases}x+y\ge1\\x^4+y^4\ge\frac{1}{8}\end{cases}}\)thôi ạ :v
Áp dụng liên tiếp hai lần bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(x^4+y^4\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2}{2}=\frac{\frac{\left(x+y\right)^4}{4}}{2}=\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}\)( đpcm )
Đẳng thức xảy ra <=> x=y=1/2
22 tháng 3 2021
\(\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)=1+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{xy}=1+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{1}{xy}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\frac{4}{1}=4\)(1)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)=1+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{1}{xy}\ge1+4+4=9\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2
AA
0