Ta có pt: \(x^2-2mx+m^2=0\)

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot m^2=0\)

Khi phương trình luôn có nghiệm kép với mọi m \(\Rightarrow x_1< x_2\) vô lý 

Chỉ có thể tìm được m nếu \(2000< x_1=x_2< 2007\)  

Khi đó: \(x_1=x_2=\dfrac{-\left(-2m\right)}{2}=m\)

\(\Rightarrow2000< m< 2007\)

Các số nguyên m thỏa mãn là: 

\(m\in\left\{2001;2002;2003;2004;2005;2006\right\}\)

ĐKXĐ: \(x\ge-\dfrac{1}{2};x\ne0\)

\(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}=\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{x-1}{x^2}=\dfrac{x-1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}+\dfrac{1}{x^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\) (do \(\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}+\dfrac{1}{x^2}\) luôn dương)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Đk: \(x\ge-\dfrac{1}{2},x\ne0\)

pt \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}=\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1-x}{x^2}=\dfrac{2x+1-\left(x+2\right)}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1-x}{x^2}=\dfrac{x-1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}+\dfrac{1}{x^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\) (vì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}+\dfrac{1}{x^2}>0\))

Vậy \(S=\left\{1\right\}\)

Phương pháp 1: nếu đây là dạng bài trong đề thi hsg thì đây là cách giải:

Công thức sử dụng: \(1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

Ta đặt: \(B=2^2+4^2+6^2+...+100^2\) 

\(B=2^2\cdot\left(1^2+2^2+3^2+...+50^2\right)\) (có n = 50) 

\(B=2^2\cdot\dfrac{50\cdot\left(50+1\right)\cdot\left(2\cdot50+1\right)}{6}\)

\(B=171700\)

Ta có: \(A=1^2+3^2+5^2+...+99^2\)

\(A+B=\left(1^2+3^2+5^2+...+99^2\right)+\left(2^2+4^2+6^2+...+100^2\right)\)

\(A+B=1^2+2^2+3^2+...+100^2\) (có n = 100) 

\(A+B=\dfrac{100\cdot\left(100+1\right)\cdot\left(2\cdot100+1\right)}{6}\)

\(A+B=3383500\)

 \(A=3383500-B=3383500-171700=166650\)

Phương pháp 2: Nếu đây là dạng bài thi hsg trên máy tính cầm tay

Rất đơn giản ta bấm như sau:

\(\sum\limits^{50}_{x=1}\left(2x-1\right)^2\)

Bấm phím "=" để cho ra kq 

a.

Do M thuộc parabol \(\Rightarrow y_M=\dfrac{1}{2}x_M^2=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2}\Rightarrow M\left(1;\dfrac{1}{2}\right)\)

Do N thuộc parabol \(\Rightarrow y_N=\dfrac{1}{2}x_N^2=\dfrac{1}{2}.\left(-3\right)^2=\dfrac{9}{2}\Rightarrow N\left(-3;\dfrac{9}{2}\right)\)

Gọi pt đường thẳng qua MN có dạng \(y=ax+b\)

Thay tọa độ M, N vào pt đường thẳng ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{1}{2}\\-3a+b=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=-x+\dfrac{3}{2}\)

b.

Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d):

\(\dfrac{1}{2}x^2=-x+m\Leftrightarrow x^2+2x-2m=0\)

\(\Delta'=1+2m>0\Rightarrow m>-\dfrac{1}{2}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=-2m\end{matrix}\right.\)

Do \(A;B\in\left(d\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1=-x_1+m\\y_2=-x_2+m\end{matrix}\right.\)

Từ đó ta có:

\(Q=x_1x_2+y_1y_2-1=-2m+\left(-x_1+m\right)\left(-x_2+m\right)-1\)

\(=-2m+x_1x_2+m^2-m\left(x_1+x_2\right)-1\)

\(=-2m-2m+m^2+2m-1\)

\(=m^2-2m-1=\left(m-1\right)^2-2\ge-2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=1\)