GỌI E = {3;6}; F = {1;4;7} ; G = {2;5} ; H= {0}

LẬP 4 chữ số ABCD đôi một khác nhau

1: Chứa số 0 trong 3 chữ số B,C,D là 3 cách

Chọn 1 số trong E và F và G thì (E+F+G):3 chia hết (loại)

Chọn 2 số trong E và 1 số trong F thì (E+E+F):3 dư 1 (loại)

-Chọn 1 số trong E và 2 số trong F thì (E+F+F):3 dư 2 (1)

Từ (1) => 3 trong 2 số thuộc F : 3C2 là 3 cách

Và 1 trong 2 số thuộc E : 2C1 là 2 cách

ABCD chứa 0 thì A và 2 chữ số (không chứa 0) sắp xếp 3!

    (1) Số lập được 3.3.2.3! = 108 số

-Chọn 2 số trong E và 1 số trong G thì (E+E+G):3 dư 2 (2)

Từ (2) => 2 trong 1 số thuộc G : 2C1 là 2 cách

Và 2 trong 2 số thuộc E : 2C2 là 1 cách

ABCD chứa 0 thì A và 2 chữ số (không chứa 0) sắp xếp 3!

   (2) Số lập được 3.2.1.3! = 36 số

Chọn 1 số trong E và 2 số trong G thì (E+G+G):3 dư 1 (loại)

Chọn 2 số trong F và 1 số trong G thì (F+F+G):3 dư 1 (loại)

Chọn 1 số trong F và 2 số trong G thì (F+G+G):3 dư 2 (3)

Từ (3) => 3 trong 1 số thuộc F : 3C1 là 3 cách

Và 2 trong 2 số thuộc G : 2C2 là 1 cách

ABCD chứa 0 thì A và 2 chữ số (không chứa 0) sắp xếp 3!

   (3) Số lập được 3.3.1.3! = 54 số

2: Không chứa 0

-Chọn 1 số trong E và F và 2 số trong G: (E+F+G+G):3 dư 2 (4)

Từ (4) => 1 số trong E : 2C1 là 2 cách và trong F : 3C1 là 3 cách

2 số trong G : 2C2 là 1 cách

ABCD thì A,B,C,D sắp xếp 4!

  (4) Số lập được 2.3.1.4! = 144 số

Chọn 1 số trong E và G và 2 số trong F: (E+F+F+G):3 dư 1 (loại)

Chọn 2 số trong E và 1 số trong F và G: (E+E+F+G):3 không dư (loaị)

-Chọn 2 số trong E và F: (E+E+F+F):3 dư 2 (5)

Từ (5) => 2 số trong E: 2C2 là 1 cách và trong F: 3C2 là 3 cách

ABCD thì A,B,C,D sắp xếp 4!

    (5) Số lập được 1.3.4! = 72 số

Chọn 2 số trong E và G: (E+E+G+G):3 dư 1 (loại)

Vậy từ (1),(2),(3),(4),(5) ta có 108+36+54+144+72 = 414 số

<=> Tổng cộng có 414 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

TH1: chọn \(1\)câu khó từ \(5\)câu: \(C^1_5\).

Chọn \(9\)câu trong đó có cả câu trung bình và câu dễ. 

Ta sử dụng phần bù. Số cách là: \(C^9_{45}-C^9_{20}-C^9_{25}\).

TH cách số câu khó từ \(2\)đến \(5\)ta làm tương tự. 

Khi đó có tổng số cách chọn \(10\)câu sao cho đủ 3 loại câu hỏi là: 

\(C^1_5\left(C^9_{45}-C^9_{20}-C^9_{25}\right)+C^2_5\left(C^8_{45}-C^8_{20}-C^8_{25}\right)+C^3_5\left(C^7_{45}-C^7_{20}-C^7_{25}\right)\)

\(+C^4_5\left(C^6_{45}-C^6_{20}-C^6_{25}\right)+C^5_5\left(C^5_{45}-C^5_{20}-C^5_{25}\right)=7052230625\)

Câu nào bạn

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:

\(P=\frac{a^2}{ab+2ca}+\frac{b^2}{bc+2ab}+\frac{c^2}{ca+2bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge1\)

Cộng thêm giả thiết abc=1, suy ra dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Chu vi bằng 4 nên tất cả các cạnh phải nhỏ hơn 2

suy ra a^2 +b^2 +c^2 < 2(a+b+c) =8