Lời giải:
1. Vì $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $MA\perp OA, MB\perp OB$.

Khi đó $\widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0$

Tứ giác $MAOB$ có tổng 2 góc đối nhau $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0$

$\Rightarrow MAOB$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow M,A,O,B$ cùng thuộc 1 đường tròn.

2.

Có: $MA=MB, OA=OB$ nên $MO$ là trung trực của $AB$

$\Rightarrow MO\perp AB$ tại $C$.

Xét tam giác $MOB$ vuông tại $B$ có đường cao $BC$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thì:

$MC.MO=MB^2(1)$

Xét tam giác $MQB$ và $MBD$ có:

$\widehat{M}$ chung

$\widehat{MBQ}=\widehat{MDB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

$\Rightarrow \triangle MQB\sim \triangle MBD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{MQ}{MB}=\frac{MB}{MD}$

$\Rightarrow MQ.MD=MB^2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow MQ.MD=MC.MO$ 

Hình vẽ:

Lời giải:

$2020\equiv 1\pmod 3\Rightarrow 2020x^3\equiv x^3\pmod 3$

$2021\equiv -1\pmod 3\Rightarrow 2021x\equiv -x\pmod 3$
$\Rightarrow 2020x^3+2021x\equiv x^3-x\pmod 3$
Mà $x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $x^3-x\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow 2020x^3+2021x\equiv 0\pmod 3(*)$

Mặt khác:
$y^{2022}=(y^{1011})^2$ là scp nên $y^{2022}\equiv 0,1\pmod 3$

$2023\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow y^{2022}+2023\equiv 1,2\pmod 3(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow 2020x^3+2021x\neq y^{2022}+2023$ với mọi $x,y$ nguyên.

Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa đề.

Lời giải:

$2020\equiv 1\pmod 3\Rightarrow 2020x^3\equiv x^3\pmod 3$

$2021\equiv -1\pmod 3\Rightarrow 2021x\equiv -x\pmod 3$
$\Rightarrow 2020x^3+2021x\equiv x^3-x\pmod 3$
Mà $x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $x^3-x\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow 2020x^3+2021x\equiv 0\pmod 3(*)$

Mặt khác:
$y^{2022}=(y^{1011})^2$ là scp nên $y^{2022}\equiv 0,1\pmod 3$

$2023\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow y^{2022}+2023\equiv 1,2\pmod 3(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow 2020x^3+2021x\neq y^{2022}+2023$ với mọi $x,y$ nguyên.

Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa đề.

Goi số học sinh đạt giải cao là \(x\) (học sinh)

Theo bài ra ta có: 3\(x\) + 7 = 4\(x\) - 2

                              4\(x\) - 3\(x\) = 7 + 2

                                  \(x\)      = 9

Vậy số học sinh đạt giải cao là 9 học sinh.

a) Gọi P là giao điểm của AM với (O). Tam giác ABH và APC có:

\(\widehat{BAH}=\widehat{PAC}\left(gt\right)\) và \(\widehat{ABH}=\widehat{APC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

 \(\Rightarrow\Delta ABH~\Delta APC\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{ACP}\).

 Mà \(\widehat{AHB}=90^o\Rightarrow\widehat{ACP}=90^o\) . Suy ra M nằm trên đường kính AP của (O).

 Mặt khác, M lại là trung điểm của dây BC của (O), do đó nếu dây BC không phải là đường kính của (O) thì phải có \(AP\perp BC\) , điều này không chắc chắn đúng. Do đó để đảm bảo M là trung điểm BC thì BC phải là đường kính của (O).

 \(\Rightarrow\) M là tâm của (O). Từ đó \(\widehat{MBA}=\widehat{MAB}\) 

Trong tam giác HAB vuông tại H có trung tuyến HE nên \(EH=EA=EB=\dfrac{AB}{2}\), do đó \(\widehat{ABM}=\widehat{EHB}\). 

 Từ đó suy ra \(\widehat{MAB}=\widehat{EHB}\) \(\Rightarrow\) Tứ giác AMHE nội tiếp (đpcm)

b) Từ câu a), ta có BC là đường kính của (O) nên suy ra đpcm.

Ta có: \(4x^2-2xy-2x=y-20\)

\(\Leftrightarrow y+2xy=4x^2-2x+20\)

\(\Leftrightarrow y\cdot\left(2x+1\right)=4x^2-2x+20\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{4x^2-2x+20}{2x+1}\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{4x^2+2x-4x+20}{2x+1}\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{2x\left(2x+1\right)-4x-2+22}{2x+1}\)

\(\Leftrightarrow y=2x+\dfrac{-2\left(2x+1\right)+22}{2x+1}\)

\(\Leftrightarrow y=2x-2+\dfrac{22}{2x+1}\)

Để x,y ∈ Z thì \(\dfrac{22}{2x+1}\) có giá trị nguyên 

\(\Rightarrow2x+1\inƯ\left(22\right)=\left\{1;-1;2;-2;11;-11;22;-22\right\}\)

Mà nếu x nguyên thì \(2x+1\) luôn là số lẻ 

\(\Rightarrow2x+1\in\left\{1;-1;11;-11\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0;-1;5;-6\right\}\)

Ta tìm được các số y tương ứng là:

\(x=0\Rightarrow y=20\)

\(x=-1\Rightarrow y=-26\)

\(x=5\Rightarrow y=10\)

\(x=-6\Rightarrow y=-16\)

Vậy các cặp x,y thỏa là: \(\left(0;20\right);\left(-1;-26\right);\left(5;10\right);\left(-6;-16\right)\)

 a) Ta có:

OB = OC (bán kính)

⇒ O nằm trên đường trung trực của BC (1)

Do ∆ABC cân tại A (gt)

AH là đường cao (gt)

⇒ AH cũng là đường trung trực của ∆ABC

⇒ AH là đường trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra O ∈ AH

⇒ O ∈ AD

Vậy AD là đường kính của (O)

b) Sửa đề: Tính độ dài các đường cao AH, BK của ∆ABC

Do AH là đường trung trực của BC (cmt)

⇒ H là trung điểm của BC

⇒ CH = BC : 2

= 12 : 2

= 6 (cm)

∆AHC vuông tại H

⇒ AC² = AH² + CH² (Pytago)

⇒ AH² = AC² - CH²

= 10² - 6²

= 64

⇒ AH = 8 (cm)

⇒ sinACH = AH/AC

= 4/5

⇒ ACH ≈ 53⁰

⇒ BCK ≈ 53⁰

∆BCK vuông tại K

⇒ sinBCK = BK/BC

⇒ BK = BC.sinBCK

= 10.sin53⁰

≈ 8 (cm)

Ta có:

\(x^2+1=x^2+xy+yz+zx\)

           \(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

Tương tự:

\(\left\{{}\begin{matrix}y^2+1=\left(y+z\right)\left(y+x\right)\\z^2+1=\left(z+y\right)\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

\(A=x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+y\sqrt{\dfrac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)

\(=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)

TH1: x,y,z <0

\(A=-x\left(y+z\right)-y\left(z+x\right)-z\left(x+y\right)=-2\)

TH2: x,y,z>0

\(A=x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)=2\)

Ta có \(1+z^2=xy+yz+zx+z^2\)

\(=y\left(x+z\right)+z\left(x+z\right)\)

\(=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)

CMTT, \(1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\) và \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)

Do đó \(\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\) \(=\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

\(=\sqrt{\left(y+z\right)^2}\) \(=\left|y+z\right|\)

 Tương tự như thế, ta được

\(A=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)

 Cái này không tính ra số cụ thể được nhé bạn. Nó còn phải tùy vào dấu của \(x+y,y+z,z+x\) nữa.

a) Do AB là tiếp tuyến của (O) tại B nên \(\widehat{ABO}=90^o\). CMTT, ta có \(\widehat{ACO}=90^o\) \(\Rightarrow\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^o\) \(\Rightarrow\) Tứ giác ABOC nội tiếp (đpcm).

b) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(AO\perp BC\). Tam giác ABO vuông tại B, có đường cao BH nên \(AB^2=AH.AO\)

 Mặt khác, lại có \(\widehat{ABD}=\widehat{ACB}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung đó) nên \(\Delta ABD~\Delta AEB\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\) \(\Rightarrow AB^2=AD.AE\)

Từ đó dễ dàng suy ra \(AD.AE=AH.AO\)

c) Do tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau nên \(\left\{{}\begin{matrix}MD=MB\\ND=NC\end{matrix}\right.\)

Do đó \(C_{AMN}=AM+AN+MN\)

\(=AM+AN+\left(MD+ND\right)\)

\(=\left(AM+MD\right)+\left(AN+ND\right)\)

\(=\left(AM+MB\right)+\left(AN+NC\right)\)

\(=AB+AC\)

\(=2AB\)

Lại có \(AB=\sqrt{AO^2-R^2}=\sqrt{6^2-3,6^2}=4,8cm\)

\(\Rightarrow C_{AMN}=2AB=2.4,8=9,6cm\)

k biết

điếc = hư tai 

hư tai => hai tư = 24

Vậy đàn chuột có 24 con nhé 

cảm ơn Dang Tung đã trả lời câu hỏi! 

Nhưng đây không phải là đố vui mà.

thế nó mới khó, Dang Tung hiểu không?