Cho A = (10⁷ + 10⁸ + 10⁹)

CM A : 222

Ta có: A = 10⁷ + 10⁸ + 10⁹

          A = 10⁷.(1 + 10 + 10²)

           A = 10⁷.(1 + 10 + 100)

           A = 10⁷.(11 + 100)

          A  =10⁷.111

         A = 10.10⁶.111

         A = 2.5.10⁶.111

         A = (2.111).5.10⁶

        A = 222.5.10⁶ ⋮ 222 (đpcm)

3²⁰ = (3²)¹⁰ = 9¹⁰

2³⁰ = (2³)¹⁰ = 8¹⁰

Do 9 > 8 nên 9¹⁰ > 8¹⁰

Vậy 3²⁰ > 2³⁰

      Đây là toán nâng cao chuyên đề chia hết, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau:

         Bài 1: CM A = n² + n + 6 ⋮ 2 

+ TH1: Nếu n là số chẵn ta có: n = 2k (k \(\in\) N)

  Khi đó: A = (2k)² + 2k + 6 

              A = 4k² + 2k + 6

             A =  2.(2k² + k + 3)  ⋮ 2

+ TH2: Nếu n là số lẻ ta có: n²; n đều là số lẻ

         Suy ra n² + n là chẵn vì tổng của hai số lẻ luôn là số chẵn

            ⇒  A = n² + n + 6 là số chẵn 

                A = n² + n + 6 ⋮ 2

+ Từ các lập luận trên ta có: A = n² + n + 6 ⋮ 2 \(\forall\) n \(\in\) N

Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề tính chất chia hết của một tổng, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp quy nạp toán học như sau:

Bài 2: CM:  A = n³ + 5n ⋮6 ∀ \(n\) \(\in\) N

          Với n = 1 ta có: A = 1³ + 1.5 

                A = 1 + 5 = 6 ⋮ 6

          Giả sử A đúng với n = k (k \(\in\) N)

          Khi đó ta có: A  = k³ + 5k ⋮ 6 \(\forall\) k \(\in\) N ⁽¹⁾

          Ta cần chứng minh A = n³ + 5n ⋮ 6 với n = k  + 1

          Tức là ta cần chứng minh: A = (k + 1)³ + 5.(k + 1) ⋮ 6

Thật vậy với n = k + 1 ta có: 

       A = (k  + 1)³ + 5(k + 1) 

      A = (k  +1).(k  + 1)(k + 1) + 5.(k  +1)

     A = (k² + k + k  +1).(k + 1) + 5k  +5

     A =  [k² + (k + k) + 1].(k + 1) + 5k + 5

    A = [k² + 2k + 1].(k + 1) + 5k + 5

   A = k³ + k² + 2k² + 2k + k  +1  +5k  +5

   A  = (k³ + 5k) + (k² + 2k²) + (2k + k) + (1 + 5) 

    A = (k³ + 5k) + 3k² + 3k + 6

   A = (k³ + 5k) + 3k(k +1) + 6

   k.(k  +1) là tích của hai số liên tiếp nên luôn chia hết cho 2

 ⇒ 3.k.(k + 1) ⋮ 6 ⁽²⁾

     6 ⋮ 6 ⁽³⁾

Kết hợp (1); (2) và (3) ta có:

    A = (k³ + 5k) + 3k(k + 1) + 6 ⋮ 6 ∀ k \(\in\) N

Vậy A = n³ + 5n ⋮ 6 \(\forall\) n \(\in\) N (đpcm) 

`a) 571 + 216 + 129 + 124`

`= (571 + 129) + (216 + 124) `

`= 700 + 340`

`= 1040`

`b) 27 . 74 + 26 . 27 - 355 `

`= 27 . (74 + 26) - 355`

`= 27 . 100 - 355`

`= 2700 - 355 `

`= 2345`

`c) 100 : {250 : [450 - (4.53 - 22.25)]} `

`= 100 : {250 : [450 - (212 - 550)]} `

`= 100 : {250 : [450 - (-338)]} `

`= 100 : {250 : 788} `

`= 100 : 125/394 `

`= 100 . 394/125`

`= 788/25`

                   Giải:

Các số thỏa mãn đề bài là:

6788; 6878; 6887

7688; 7868; 7886

8678; 8687; 8768; 8786; 8867; 8876

A = {6788; 6878; 6887; 7688; 7868; 7886; 8678; 8687; 8768; 8786;8867;8876}

a: 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ luôn có dạng là 3k;3k+1;3k+2(với k là số tự nhiên)

mà \(3k⋮3\)

nên trong 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ có một số chia hết cho 3

b: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a;a+1;a+2

Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là:

\(a+a+1+a+2=3a+3=3\left(a+1\right)⋮3\)

=>Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3

c: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 3!=6

mà \(6⋮3;6⋮2\)

nên tích của ba số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho cả 3 và 2

Chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là:

`(8+16) \times 2 = 48 (m)`

Số cây mà Thu trồng là:

`48 : 1 = 48 (` cây `)`

Số tiền mà bạn Thu phải bỏ ra trồng cây là:

`50000 \times 48=2 400 000 (` đồng `)`

Vậy: Số tiền mà bạn Thu phải bỏ ra trồng cây là: `2 400 000` đồng

\(A=2+2^2+2^3+...+2^{2023}\)

\(2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{2024}\)

\(2A-A=\left(2^2+2^3+2^4+...+2^{2024}\right)-\left(2+2^2+2^3+...+2^{2023}\right)\)

\(A=2^{2024}-2\)

\(B=3^0+3^1+3^2+...+3^{100}\)

\(3B=3^1+3^2+3^3+...+3^{101}\)

\(3B-B=\left(3^1+3^2+3^3+...+3^{101}\right)-\left(3^0+3^1+3^2+...+3^{100}\right)\)

\(2B=3^{101}-3\)

\(B=\dfrac{3^{101}-3}{2}\)

\(C=4^0+4^2+...+4^{100}\)

=>\(16C=4^2+4^4+...+4^{102}\)

=>\(16C-C=4^2+4^4+...+4^{102}-4^0-4^2-...-4^{100}\)

=>\(15C=4^{102}-1\)

=>\(C=\dfrac{4^{102}-1}{15}\)

\(D=1+5^2+5^4+...+5^{2022}\)

=>\(25D=5^2+5^4+...+5^{2024}\)

=>\(25D-D=5^2+5^4+...+5^{2024}-1-5^2-...-5^{2022}\)

=>\(24D=5^{2024}-1\)

=>\(D=\dfrac{5^{2024}-1}{24}\)

\(S=a^0+a^1+...+a^n\)

=>\(S\cdot a=a^1+a^2+...+a^{n+1}\)

=>\(S\cdot a-S=a^1+a^2+...+a^{n+1}-a^0-a^1-...-a^n\)

=>\(S\left(a-1\right)=a^{n+1}-1\)

=>\(S=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}\)

`Ư(16) = {-16;-8;-4;-2;-1;1;2;4;8;16}`

`Ư(24) = {-24;-12;-8;-6;-4;-3;-2;-1;1;2;3;4;6;8;12;24}`

`=> ƯC(16;24) = {-8;-4;-2;-1;1;2;4;8}`

`Ư(30) = {-30;-15;-10;-6;-5;-3-2;-1;1;2;3;5;6;10;15;30}`

`Ư(45) = {-45;-15;-9;-5;-3;-1;1;3;5;9;15;45}`

`=> ƯC(30;45) = {-15;-5;-3;-1;1;3;5;15}`

Lời giải:

a. $140=2^2.5.7$

$168=2^3.3.7$

$\Rightarrow ƯCLN(140, 168) = 2^2.7=28$

b. 

$525=3.5^2.7$

$375=3.5^3$

$\Rightarrow ƯCLN(525, 375)=3.5^2=75$