ta có:1/[n*(n+1)] = 1/n -1/(n+1) 
1/2² + 1/3² + 1/4² +...+1/100² 
< 1/(2*3) +1/(3*4) +1/(4*5) + ... +1/(100*101) 
mà 1/(2*3) +1/(3*4) +1/(4*5) + ... +1/(100*101) 
=1/2 - 1/3 +1/3 -1/4 +....+1/100 - 1/101 
=1/2 - 1/101 = 99/202<3/4 
=>1/2² + 1/3² + 1/4² +...+1/100² < 3/4

   Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề vòi nước. Cấu trúc thi chuyên thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm.vn sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

                                Giải:

 Gấp rưỡi là gấp \(\dfrac{3}{2}\), vậy lượng nước nóng bằng \(\dfrac{3}{2}\) lượng nước lạnh khi bể đầy.

    Khi bể đầy lượng nước nóng bằng: 3 : (3 + 2) = \(\dfrac{3}{5}\) (bể)

   Khi bể đầy lượng nước lạnh bằng: 1 - \(\dfrac{3}{5}\) = \(\dfrac{2}{5}\) (bể)

   Cứ một phút vòi lạnh chảy được: 1 : 17 = \(\dfrac{1}{17}\) (bể)

   Thời gian vòi nước lạnh chảy được \(\dfrac{2}{5}\) bể là: \(\dfrac{2}{5}\) : \(\dfrac{1}{17}\) = 6,8 (phút)

Cứ một phút vòi nóng chảy được: 1 : \(23\) = \(\dfrac{1}{23}\) (bể)

Thời gian vòi nước nóng chảy được \(\dfrac{3}{5}\) bể là: \(\dfrac{3}{5}\) : \(\dfrac{1}{23}\) = 13,8 (phút)

Để khi bể đầy, lượng nước nóng gấp rưỡi lượng nước lạnh. Nếu mở vòi nước nóng trước thì cần mở vòi lạnh sau:

                        13,8 phút - 6,8 phút  = 7 phút

Kết luận. Nếu mở vòi nước nóng trước thì cần mở vòi lạnh sau 7 phút, để khi bể đầy lượng nước nóng gấp rưỡi lượng nước lạnh. 

Đặt A = 1.2+2.3 +.......+99.100

Ta có:

3A= 1.2.3+2.3.4+3.4.3 +......+ 99.100.3

3A= 1.2. (3 - 0) + 2.3.(4 - 1) +3.4. (5 - 2)....... . 99.100. (101 - 98)

3A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +...... + 99.100.101) - (0.1.2 + 1.2.3 + 2.3.4 +...+ 98.99.100)

3A = 99.100.101 - 0.1.2

3A = 999900 - 0

3A= 999900

A= 999900 : 3

A = 333300

Vậy A = 333300

Đặt \(A=1.2+2.3+3.4+...+99.100\)

\(\Rightarrow3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+99.100.3\)

\(=1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+3.4.\left(5-2\right)+...+99.100.\left(101-98\right)\)\(=1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+3.4.5+...-98.99.100+99.100.101\)

\(=99.100.101\)

\(=999900\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{999900}{3}=333300\)

A = \(\dfrac{n+10}{2n-8}\) 

a; A là phân thức đại số khi và chi khi 2n - 8 ≠ 0

    2n - 8 ≠ 0

   2n ≠ 8

    n ≠ 8 : 2

   n ≠ 4 

Vậy A là phân số khi và chỉ khi 4 ≠ n \(\in\) Z

b; A = \(\dfrac{n+10}{2n-8}\) (4 ≠ n \(\in\) Z)

   A \(\in\) Z ⇔ n + 10 ⋮ 2n - 8

           2.(n + 10) ⋮ 2n  - 8

          2n + 20     ⋮ 2n - 8

        2n - 8 + 28 ⋮ 2n - 8

                     28 ⋮ 2n - 8

                       14 ⋮ n - 4

                   n - 4 \(\in\) Ư(14) = {-14; -7; -2; -1; 1; 2; 7; 14}

Lập bảng ta có:

  Theo bảng trên ta có n \(\in\) {-10; 2; 6; 18}

Kết luận vậy để A = \(\dfrac{n+10}{2n-8}\) là một số nguyên thì n \(\in\) {-10; 2; 6; 18}

Giá ban đầu của 50 chai sữa tắm là:

\(749000:\left(100\%-30\%\right)=1070000\) (đồng)

bài giải

1 một chai sữa tắm sau khi giảm giá là:

749000 : 50 = 14980 ( đồng )

giá ban đầu của mỗi chai là:

14980 : ( 100 - 30 ) x100 = 21400 ( đồng )

đáp số: 21400 đồng.

Đặt \(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{99^2}+\dfrac{1}{100^2}=\\ A=\dfrac{1}{2.2}+\dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+...+\dfrac{1}{99.99}+\dfrac{1}{100.100}\\ A< \dfrac{1}{2.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{98.99}+\dfrac{1}{99.100}\\ A< \dfrac{1}{2.2}+\left(\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{98.99}+\dfrac{1}{99.100}\right)\\ A< \dfrac{1}{2.2}+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{98}-\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\right)\\ A< \dfrac{1}{2.2}+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{100}\right)\\ A< \dfrac{1}{2.2}+\dfrac{49}{50}\\ A< \dfrac{1}{4}+\dfrac{49}{50}\\ A< \dfrac{37}{50}=\dfrac{74}{100}< \dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}\) Hay \(A< \dfrac{3}{4}\)

Vậy \(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{99^2}+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{3}{4}\)

a) Số học sinh loại giỏi:

120 . 1/6 = 20 (học sinh)

Số học sinh khá:

120 . 30% = 36 (học sinh)

Số học sinh trung bình:

120 . 1/3 = 40 (học sinh)

Số học sinh yếu:

120 - 20 - 36 - 40 = 24 (học sinh)

b) Tỉ số phần trăm của số học sinh yếu so với cả lớp:

24 . 100% : 120 = 20%

A = 0,1 + 0,1² + 0,1³ + ... + 0,1⁹

A x 10 = 1 + 0,1 + 0,1² + ... + 0,1⁸

A x (10 - 1) = 1 - 0,1⁹

A x 9 = 1 - 0,000000001

A x 9 = 0,999999999

A = \(\dfrac{0,999999999}{9}=0,111111111\)

\(5^x+5^{2x}=650\\ \Rightarrow5^x+5^2.5^x=650\\ \Rightarrow5^x\left(1+25\right)=650\\ \Rightarrow5^x=25\\ \Rightarrow x=2\)

Vậy x = 2

củ hành hoặc của tỏi