\(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\left(1+\sqrt{2}\right).\left(\sqrt{2}-1\right)}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right).\left(\sqrt{3}-2\right)}+...+\dfrac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{\left(\sqrt{99}+\sqrt{100}\right)\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)}\)\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

\(=\sqrt{100}-1=10-1=9\)

Ta có:\(\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n+1}^2-\sqrt{n}^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Do đó:

\(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1;\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2};...;\dfrac{1}{\sqrt{99}-\sqrt{100}}=\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

Đến đây bạn tự giải tiếp nhé.

Ta đặt A=\(\sqrt{70-\sqrt{3\sqrt{70-3\sqrt{70-...}}}}\)(A≥0)
Vì A là phép tính vô hạn tuần hoàn
⇒ A=\(\sqrt{70-3A}\)
⇔\(A^2=70-3A\)
⇔\(A^2+3A+\dfrac{9}{4}=70+\dfrac{9}{4}\)
⇔\(\left(A+\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{289}{4}\)
⇔\(A+\dfrac{3}{2}=\dfrac{\pm17}{2}\)
⇔\(A=7\)(Thỏa mãn) hoặc \(A=-10\)(Loại)
Vậy A=7 hay giá trị của phép tính trên là 7

Xin lỗi bạn bài đầu mình sai nhé, từ dòng 3 phải là:
\(A=\sqrt{70-\sqrt{3A}}\)
Phần sau tự giải giúp mình nha:))