Ta có:

\(\dfrac{\sqrt{21}+\sqrt{7}}{1+\sqrt{3}}-\dfrac{3}{\sqrt{7}-2}\\ =\dfrac{\sqrt{7}\left(\sqrt{3}+1\right)}{1+\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{7^2}-2^2}{\sqrt{7}-2}\\ =\dfrac{\sqrt{7}\left(\sqrt{3}+1\right)}{1+\sqrt{3}}-\dfrac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}+2\right)}{\sqrt{7}-2}\\ =\sqrt{7}-\left(\sqrt{7}+2\right)\\ =-2\)

\(x\left(x^2-y\right)=5-2y\) 

\(\Leftrightarrow x^3-xy=5-2y\)

\(\Leftrightarrow x^3-8-y\left(x-2\right)=-3\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)-y\left(x-2\right)=-3\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4-y\right)=-3\)

Ta lập bảng giá trị:

Vậy pt đã cho có các nghiệm nguyên là \(\left(3;22\right);\left(-1;2\right);\left(1;4\right);\left(5;40\right)\)

Ta có:

\(P=\dfrac{5}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}=\dfrac{5}{x^2+y^2}+\dfrac{5}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}\\ =5\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{1}{2xy}\)

Với hai số dương \(x;y\) , bằng cách khai triển tương đương hai vế ta dễ dàng chứng minh được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (BĐT Cauchy-Schwarz)

Áp dụng vào biểu thức P ta có:

\(P\ge5\left(\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\right)+\dfrac{1}{2xy}\\ \ge5\left(\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\right)+\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2"cosy"}\\ \ge\dfrac{5.4}{3^2}+\dfrac{2}{3^2}=\dfrac{22}{9}\)

Dấu \('='\) xảy ra khi \(x=y=\dfrac{3}{2}\)

\(giúp\) \(mình\) \(với\) ☹

☹☹☹☹