Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x+y+z=0\).

Ta có:

\(A=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2.0}{xyz}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}=\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\)

\(a,b,c\) là các số hữu tỉ đôi một khác nhau nên \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\) là số hữu tỉ. 

Kẻ hai đường kính \(AB,AC\) của hai đường tròn \(\left(O;R\right),\left(O';R\right)\).

Xét tam giác \(AMB\) và \(CNA\) có: 

\(\widehat{AMB}=\widehat{CNA}\left(=90^o\right)\)

\(AB=AC\left(=2R\right)\)

\(\widehat{MAB}=\widehat{NCA}\) (vì cùng phụ với góc \(\widehat{NAC}\)) 

suy ra \(\Delta AMB=\Delta CNA\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow MB=NA\) (hai cạnh tương ứng) 

\(AM^2+AN^2=AM^2+MB^2=AB^2\) (vì tam giác \(AMB\) vuông ở \(M\))

\(=4R^2\).

Với `x >= 0,x \ne 1` có:

`[\sqrt{x}+1]/[x-1]-[x+2]/[x\sqrt{x}-1]-[\sqrt{x}+1]/[x+\sqrt{x}+1]`

`=[\sqrt{x}+1]/[(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)]-[x+2]/[x\sqrt{x}-1]-[\sqrt{x}+1]/[x+\sqrt{x}+1]`

`=1/[\sqrt{x}-1]-[x+2]/[x\sqrt{x}-1]-[\sqrt{x}+1]/[x+\sqrt{x}+1]`

`=[x+\sqrt{x}+1-x-2-(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)]/[(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)]`

`=[x+\sqrt{x}+1-x-2-x+1]/[(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)]`

`=[-x+\sqrt{x}]/[(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)]`

`=[-\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)]/[(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)]`

`=[-\sqrt{x}]/[\sqrt{x}+1]`