Cách làm chung của các bài từ 1 đến 7 là từ điều kiện đã cho, tính ẩn này theo ẩn kia (hạn chế phân số) rồi thay vào biểu thức cần tìm min (max) rồi quay về dạng toán tìm min (max) của đa thức bậc 2 quen thuộc. Mình mẫu 1 câu nhé:

 1. Tìm min của \(A=3x^2+y^2\)  biết \(3x+y=1\)

Ta có \(3x+y=1\Leftrightarrow y=1-3x\) (hoặc bạn có thể suy ra \(x=\dfrac{1-y}{3}\) nhưng làm như thế khi thay vào biểu thức A sẽ gặp khó khăn) 

Thế \(y=1-3x\) vào A, ta được \(3x^2+\left(1-3x\right)^2=3x^2+1-6x+9x^2=12x^2-6x+1\)

 Tới đây việc tìm min của A chắc mình không cần làm nữa đâu nhỉ?

 Ở bài 8 và 9, việc rút ẩn này theo ẩn kia rồi thay vào sẽ gây khó khăn vì các biến nằm ở dưới mẫu khá khó xét. Để ý rằng giả thiết cho \(a,b>0\), hơn nữa các biến còn có vai trò như nhau trong biểu thức cần tìm min (max) nên ở dạng bài này, ta hay có trò sử dụng các BĐT như Cô-si, Bu-nhi-a-cốp-xki,... Ví dụ:

 8. Cho \(a,b>0\) và \(a+b=4\). Tìm max của \(P=\left(1-\dfrac{1}{a}\right)\left(1-\dfrac{1}{b}\right)\).

Ta thấy \(P=1-\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+\dfrac{1}{ab}=1-\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{1}{ab}\) \(=1-\dfrac{4}{ab}+\dfrac{1}{ab}\) \(=1-\dfrac{3}{ab}\). Ta lại có \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}=4\) nên \(\dfrac{3}{ab}\ge\dfrac{3}{4}\) hay \(P=1-\dfrac{3}{ab}\le1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=2\).

 Riêng câu số 5 mình nhấn mạnh một chút, vì các biến trong biểu thức đã cho có bậc 3 nhưng các biến đối xứng kiểu như thế thì ta sẽ tìm cách đưa về tổng và tích:

 \(C=x^3+y^3+xy=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+xy\) \(=1-3xy+xy=1-2xy\) 

rồi làm như bình thường.

\(3x-5=2x-1\\ 3x-2x=-1+5\\ x=4\)

      3x - 5 = 2x - 1

⇒ 3x - 2x = -1 + 5

⇒          x = 4

    Vậy x = 4

 Để đa thức \(P\left(x\right)=x^2+6x+a\) chia hết cho \(\left(x-2\right)\) thì \(x^2+6x+a\) phải có nghiệm là \(2\)

 Điều này có nghĩa là \(P\left(2\right)=0\Leftrightarrow2^2+6.2+a=0\Leftrightarrow a=-16\)

Bạn xem lại đề xem chứ mình thay \(n=3,4,5,6\) đều không thỏa.

Bài 1 : (4a - b).(4a + b)    = 16a² + (-b²)

       (\(x^2y\) + 2y)(\(x^2\)y - 2y    = \(x^4\).y² + (- 4y²)

   (\(\dfrac{3}{4}\)\(x\) + \(\dfrac{3}{5}\)y)(\(\dfrac{3}{5}\)y - \(\dfrac{3}{4}\)\(x\))     = \(\dfrac{9}{25}\)y² + (- \(\dfrac{9}{16}\)\(x^2\))

    2; (\(x+2\))(\(x^2\) - 2\(x\) + 4)  =       \(x^3\) + 8

         (3\(x\) + 2y)(9\(x^2\) - 6\(xy\) + 4y²)   = 27\(x^3\) + 8y³

       3,  (5- 3\(x\))(25 + 15\(x\) + 9\(x^2\))      = 125 + ( -27\(x^3\))

        (\(\dfrac{1}{2}\)\(x\) - \(\dfrac{1}{5}\)y).(\(\dfrac{1}{4}\)\(x^2\) + \(\dfrac{1}{10}\)\(xy\) + \(\dfrac{1}{25}\)y² =  \(\dfrac{1}{8}\)\(x^3\) + (-\(\dfrac{1}{125}\)y³)

em cảm ơn cô ạ

Lời giải:
1. $9x^2+12x+4=(3x)^2+2.3x.2+2^2=(3x+2)^2$

2. $4y^2-20y+25=(2y)^2-2.2y.5+5^2=(2y-5)^2$

3. $27x^3+54x^2y+36xy^2+8y^3=(3x)^3+3.(3x)^2.2y+3.3x.(2y)^2+(2y)^3$

$=(3x+2y)^3$

4. $\frac{1}{8}x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}x-1=(\frac{1}{2}x)^3-3.(\frac{1}{2}x)^2.1+3.\frac{1}{2}x.1-1^3=(\frac{1}{2}x-1)^3$

Từ đề bài ta có :

\(a+b+c=0< =>\left(a+b+c\right)^2=0< =>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0\)

Mà \(a^2+b^2+c^2=1\)  < = > 1 + 2 ( ab + ac + bc ) = 0

< = > 2 ( ab + ac + bc ) = -1 

< = > ab + ac + bc = -1/2

\(< =>\left(ab+ac+bc\right)^2=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2< =>\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=\dfrac{1}{4}\)

\(< =>\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2+2abc\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{4}\)

\(< =>\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

Lại có từ \(a^2+b^2+c^2=1\)

\(< =>\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=1< =>a^4+b^4+c^4+2\left[\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2\right]=1\)

\(< =>a^4+b^4+c^4+2.\dfrac{1}{4}=1< =>a^4+b^4+c^4+\dfrac{1}{2}=1< =>a^4+b^4+c^4=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

a) Ta có góc B = 105 độ và góc D = 75 độ.
Vì AB = BC = CD, suy ra tam giác ABC và tam giác BCD là tam giác cân.
Do đó, ta có góc ABC = góc BAC và góc BCD = góc BDC.
Vì góc BAC + góc ABC + góc BCA = 180 độ (tổng các góc trong tam giác ABC bằng 180 độ),
thay giá trị vào ta có góc BAC + góc BAC + góc BCA = 180 độ.
Suy ra góc BAC + góc BCA = 180 độ - góc BAC = góc ABC.
Tương tự, ta có góc BCD + góc BDC = 180 độ - góc BDC = góc BCD.
Vậy ta có góc BAC = góc ABC = góc BCA và góc BCD = góc BDC = góc BCD.
Do đó, AC là tia phân giác của góc A.

b) Ta đã chứng minh được AC là tia phân giác của góc A.
Vì AB = BC = CD, suy ra tam giác ABC và tam giác BCD là tam giác cân.
Vì góc BAC = góc ABC và góc BCD = góc BDC,
nên ta có góc BAC = góc ABC = góc BCA và góc BCD = góc BDC = góc BCD.
Vậy ta có AB || CD.
Do đó, ABCD là hình thang cân.

`M=2(x^3 -y^3 )-3(x^2 +y^2)`

`M=2(x-y)(x^2 +xy+y^2 )-3x^2 -3y^2`

`M=2x^2 +2xy+2y^2 -3x^2 -3y^2`

`M=-x^2 +2xy-y^2`

`M=-(x^2 -2xy+y^2)`

`M=-(x-y)^2`

`M=-(1)^2`

`M=-1`

\(M=2\left(x^3-y^3\right)-3\left(x^2-y^2\right)\)

\(M=2\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-3\left(x-y\right)\left(x+y\right)\)

\(M=2\left[x^2+x\left(x-1\right)+\left(x-1\right)^2\right]-3\left(2x-1\right)\)

\(M=2\left(x^2+x^2-x+x^2-2x+1\right)-6x+3\)

\(M=6x^2-12x+5\)

 Đề bài yêu cầu tính giá trị nhưng mình cũng không rõ là giá trị gì nên mình làm đến đây thôi nhé.