Ta co:

\(x^2+y^2+\frac{2}{xy}\ge2xy+\frac{2}{xy}=2\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\ge4\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=1\)hoac \(x=y=-1\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:

\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)(Vì x,y cùng dấu)

và \(xy+\frac{1}{xy}\ge2\sqrt{\frac{xy}{xy}}=2\)(Vì x,y cùng dấu)

\(\Rightarrow x^2+y^2+\frac{2}{xy}\ge2xy+\frac{2}{xy}=2\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\ge4\)(Vì \(xy+\frac{1}{xy}\ge2\left(cmt\right)\))

Vậy GTNN của \(x^2+y^2+\frac{2}{xy}\)là 4\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=1\\x=y=-1\end{cases}}\)

Ta có : 

\(a+b=1\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\)

Mà \(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\)

\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=1\left(1\right)\)

Ta lại có :

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\left(2\right)\)

Ta đi cộng vế ( 1 ) và vế ( 2 ) , ta được :

\(2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Ta có :

\((a^2+b^2)^2=a^4+2a^2b^2+b^4=\frac{1}{4}\left(3\right)\)

 \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\left(4\right)\)

Cộng tiếp đẳng thức ( 3 ); ( 4 ) , ta lại được :

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\frac{1}{4}\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\)

Vậy ..................

Nhân tung tóe + rút gọn ta được: \(\Sigma_{cyc}a^3b^2+\Sigma_{cyc}ab^3\ge abc\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\Sigma\frac{a^2b}{c}+\Sigma\frac{a^2}{b}\ge ab+bc+ca+a+b+c\) (*) 

(*) đúng do \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2b}{c}+bc\ge2ab\\\frac{a^2}{b}+b\ge2a\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\Sigma\frac{a^2b}{c}\ge ab+bc+ca\\\Sigma\frac{a^2}{b}\ge a+b+c\end{cases}}\)

"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

a) \(A=\left(3x+2\right)^2-9x\left(x+1\right)\)

\(A=9x^2+12x+4-9x^2-9x\)

\(A=3x+4\)

\(B=\left(2x-1\right)^2-2\left(2x-1\right)\left(5x-1\right)+\left(5x-1\right)^2\)

\(B=\left[2x-1-\left(5x-1\right)\right]^2\)

\(B=\left(2x-1-5x+1\right)^2\)

\(B=\left(-3x\right)^2\)

\(B=9x^2\)

Bài làm

Vì con vi rút của bệnh cúm rất đa dạng nên khi ta mắc bệnh cúm thì lần này cs thể mác con vi rút này nhưng hôm sau ta bị cúm lại mắc con vi rút khác vì thế cơ thể ta không thể ưng phó kịp thơi vs chúng nên chúng ta cs thể mắc bệnh cúm nhiều lần. Còn vs bệnh quai bị chỉ do một loại vi rút gây ra nên ta mắc một lần thì lần sau sẽ không mắc lại nx.

# Học tốt #

Thanks!!!

1) \(x^4-2x^3+3x^2-2x+1\)

\(=x^2\left(x^2-x+1\right)-x\left(x^2-x+1\right)+\left(x^2-x+1\right)\)

\(=\left(x^2-x+1\right)^2\)

2) \(x^4-4x^3+10x^2-12x+9\)

\(=x^2\left(x^2-2x+3\right)-2x\left(x^2-2x+3\right)+3\left(x^2-2x+3\right)\)

\(=\left(x^2-2x+3\right)^2\)

Đề là khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến cạnh bằng 12 cm. Em kiểm tra lại đề bài nhé!

Đặt OA = a, OD =b

Áo dụng định lí Pitago cho tam giác vuông OAD.

Có: \(a^2+b^2=25^2\)

Diện tích OAD = \(\frac{1}{2}.a.b=\frac{1}{2}.12.25\)

=> \(a.b=300\)=> \(b=\frac{300}{a}\)

=> \(a^2+\frac{300^2}{a^2}=25^2\Leftrightarrow a^4-25^2a^2+300^2=0\Leftrightarrow\left(a^2-225\right)\left(b^2-400\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}a^2=225\\a^2=400\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=15\Rightarrow b=20\\a=20\Rightarrow b=15\end{cases}}\)

=> Đường chéo của hình thoi là: 15.2 =30 cm và 20 . 2 = 40 ( cm)

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2\)

\(=\left(\frac{a^2}{4}+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}+c^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}+d^2\right)\)

Lại có: \(\left(\frac{a}{2}-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2}{4}-ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2}{4}+b^2\ge ab\)

Tương tự ta có:

\(\frac{a^2}{4}+c^2\ge ac\)

\(\frac{a^2}{4}+d^2\ge ad\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a^2}{4}+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}+c^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}+d^2\right)\ge ab+ac+ad\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=a\left(b+c+d\right)\left(đpcm\right)\)

Sửa lại kết luận là \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)