Đơn thức : 

a) 3xy2z ; 3 và 1/2  ; 10x/3y

b) 4/3 x2yz ; 2018 ; xy2/3 ; 2 xy/z 

a/Các đơn thức: 3xy²z ; \(3\dfrac{1}{2}\) ; \(\dfrac{10x}{3y}\)
b/Các đơn thức: \(\dfrac{4}{3}x^2yz\) ; \(2018\) ; \(\dfrac{xy^2}{3}\) ; \(\dfrac{2xy}{z}\)
#deathnote

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\) thì ta có \(x+y+z=0\). Điều kiện đã cho tương đương \(x^2+y^2+z^2=\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=4\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=4\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(xy+yz+zx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=0\)

\(\Leftrightarrow a-b=b-c=c-a=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta có đpcm

Lời giải:

Đặt $a-b=x; b-c=y, c-a=z$ thì $x+y+z=0$.

ĐKĐB tương đương với:

$x^2+y^2+z^2=(y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+xz)$
$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=(x+y+z)^2=0$

$\Rightarrow x=y=z=0$

$\Leftrightarrow a-b=b-c=c-a=0$

$\Leftrightarrow a=b=c$ (ta có đpcm)

\(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\\ < =>\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\\ < =>\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\) (1)

Vì : \(\left(a-1\right)^2\ge0,\left(b-1\right)^2\ge0,\left(c-1\right)^2\ge0\forall a,b,c\in R\\ =>\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)

Do vậy (1) xảy ra khi : \(a-1=b-1=c-1=0< =>a=b=c=1\) (DPCM)

\(a^2+b^2+c^2+3=2\cdot\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)\left(b^2-2b-1\right)\left(c^2-2c-1\right)+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)

Với mọi \(a,b,c\) thì: \(\left(a-1\right)^2\ge0;\left(b-1\right)^2\ge0;\left(c-1\right)^2\ge0\)

Do đó: \(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)

Để: \(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\) (ta giải tìm a,b,c)

\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Sửa đề : \(\left(2x-y\right)\left(4x^2+2xy+y^2\right)-8x^3+y^3+2023\)

\(=\left(2x\right)^3-y^3-8x^3+y^3+2023\\ =8x^3-y^3-8x^3+y^3+2023=2023\)

Do `2023` không phụ thuộc vào biến

Vậy nên bt B không phụ thuộc vào biến (DPCM)

\(\left(-5x^2\right)y^2.\dfrac{1}{5}xy\)

\(=\left(-5x^2y^2\right).\dfrac{1}{5}xy\)

\(=-x^3y^3\)

`@` `\text {Ans}`

`\downarrow`
\(3(x^2+2x-3)+3(-x^2-4x)\)

`= 3*(x^2+2x-3 - x^2 - 4x)`

`= 3*[(x^2-x^2)+(2x-4x)-3]`

`= 3*(-2x-3)`

`= -6x-9`

3(x² + 2x - 3) + 3(-x² - 4x)

= 3x² + 6x - 9 - 3x² - 12x

= (3x² - 3x²) + (6x - 12x) - 9

= -6x - 9

Với x, y là hai số dương, dễ dàng chứng minh x + y  2,

do x + y = 2  => 0 < xy ≤ 1 (1)

Ta lại có: 2xy( x2 + y2) ≤ 

=> 0 < 2xy(x2 + y2)  ≤ (x+y)4/4 = 4

=> 0 < xy( x2 + y2) ≤ 2 (2)

Nhân (1) với (2) theo vế ta có: x2y2 ( x2 + y2) ≤ 2 (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1

Câu 1:

Ta thấy \(S_2=\dfrac{\sqrt{3}+S_1}{1-\sqrt{3}S_1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}\)\(=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{-2}=-2-\sqrt{3}\)

Từ đó \(S_3=\dfrac{\sqrt{3}+S_2}{1-\sqrt{3}S_2}=\dfrac{\sqrt{3}-2-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}\left(-2-\sqrt{3}\right)}=\dfrac{-2}{4+2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{-2-\sqrt{3}}\) 

và \(S_4=\dfrac{\sqrt{3}+S_3}{1-\sqrt{3}S_3}=\dfrac{\sqrt{3}+\dfrac{1}{-2-\sqrt{3}}}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{-2-\sqrt{3}}}=\dfrac{-2\sqrt{3}-3+1}{-2-\sqrt{3}-\sqrt{3}}=1\)

Đến đây ta thấy \(S_4=S_1\). Cứ tiếp tục làm như trên, ta rút ra được:

\(S_{3k+1}=1\); \(S_{3k+2}=-2-\sqrt{3}\) và \(S_{3k+3}=\dfrac{1}{-2-\sqrt{3}}\), với \(k\inℕ\) 

Ta tính số các số thuộc mỗi dạng \(S_{3k+i}\left(i=1,2,3\right)\) từ \(S_1\) đến \(S_{2017}\).

 - Số các số hạng có dạng \(S_{3k+1}\) là \(\left(2017-1\right):3+1=673\) số

 - Số các số hạng có dạng \(S_{3k+2}\) là \(\left(2015-2\right):3+1=672\) số

 - Số các số hạng có dạng \(S_{3k+3}\) là \(\left(2016-3\right):3+1=672\) số

Như thế, tổng S có thể được viết lại thành 

\(S=\left(S_1+S_4+...+S_{2017}\right)+\left(S_2+S_5+...+S_{2015}\right)+\left(S_3+S_6+...+S_{2016}\right)\)

\(S=613+612\left(-2-\sqrt{3}\right)+612\left(\dfrac{1}{-2-\sqrt{3}}\right)\)

Tới đây mình lười rút gọn lắm, nhưng ý tưởng làm bài này là như vậy.

Có \(\left(x-\sqrt{x^2+5}\right).\left(y-\sqrt{y^2+5}\right)=5\) (1)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-\sqrt{x^2+5}\right).\left(x+\sqrt{x^2+5}\right)}{x+\sqrt{x^2+5}}.\dfrac{\left(y-\sqrt{y^2+5}\right).\left(y+\sqrt{y^2+5}\right)}{y+\sqrt{y^2+5}}=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+5}\right).\left(y+\sqrt{y^2+5}\right)=5\) (2) 

Từ (1) và (2) ta có \(\left(x-\sqrt{x^2+5}\right).\left(y-\sqrt{y^2+5}\right)=\left(x+\sqrt{x^2+5}\right).\left(y+\sqrt{y^2+5}\right)\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{y^2+5}+y\sqrt{x^2+5}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(y^2+5\right)=y^2\left(x^2+5\right)\left(y\le0;x\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-y^2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\left(\text{loại}\right)\\x=-y\left(\text{nhận}\right)\end{matrix}\right.\)

Khi đó M = x³ + y³ = 0

N = x² + y² = 2y²