a) Ta có: \(\widehat{AMO}=\widehat{ADO}=\widehat{ANO}=90^o\) nên \(M,N,D\) cùng nhìn \(AO\) dưới một góc vuông suy ra \(M,D,O,N,A\) cùng thuộc một đường tròn. 

b) Gọi \(F\) là giao điểm của \(AC\) và đường tròn \(\left(O\right)\).

\(\Delta ANF\sim\Delta ACN\left(g.g\right)\) suy ra \(AN^2=AC.AF\).

Xét tam giác \(AHN\) và tam giác \(AND\):

\(\widehat{HAN}=\widehat{NAD}\) (góc chung) 

\(\widehat{ANH}=\widehat{ADN}\) (vì \(AMDON\) nội tiếp, \(\widehat{ANH},\widehat{ADN}\) chắn hai cung \(\stackrel\frown{AM},\stackrel\frown{AN}\) mà \(AM=AN\))

\(\Rightarrow\Delta AHN\sim\Delta AND\left(g.g\right)\)

suy ra \(AN^2=AH.AD\)

suy ra \(AC.AF=AH.AD\)

\(\Rightarrow\Delta AFH\sim\Delta ADC\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AFH}=\widehat{ADC}=90^o\)

suy ra \(\widehat{HFC}=90^o\) mà \(\widehat{BFC}=90^o\) (do \(F\) thuộc đường tròn \(\left(O\right)\))

suy ra \(B,H,F\) thẳng hàng do đó \(BH\) vuông góc với \(AC\).

Tam giác \(ABC\) có hai đường cao \(AD,BF\) cắt nhau tại \(H\) suy ra \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\). 

Bạn check lại và đánh lại đề để mình có thể giúp đỡ nha.

câu c theo nha

câu c nha

Lời giải đây bạn nhé.

a/

Ta có

\(AB\perp OA\)

\(AD\perp OD\) (Trong đường tròn đường thẳng đi qua tâm và đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung)

=> B và D cùng nhìn AO dưới 1 góc vuông => B và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AO tâm I là trung điểm của AO

=> ABOM là tứ giác nội tiếp

b/ Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ABD\) có

\(\widehat{BAD}\) chung (1)

\(sđ\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AC (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{ADB}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AC (góc nội tiếp đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADB}\) (2)

Từ (1) và (2) => tg ABC đồng dạng với tg ABD

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AB^2=AC.AD\left(đpcm\right)\)

c/ Xét (I) có

\(\widehat{AEO}=90^o\Rightarrow AE\perp OE\)

Mà E là giao của (I) với (O) => \(E\in\left(O\right)\) => OE là bán kính của (O)

=> AE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d/

Xét tg vuông AOB và tg vuông AOE có

AB=AE (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1điểm)

OB=OE=R

=> tg AOB = tg AOE (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{AOB}=\widehat{AOE}\)

Xét tg vuông AOB có

\(\cos\widehat{AOB}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{AOB}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BOE}=\widehat{AOB}+\widehat{AOE}=120^o\)

\(\Rightarrow S_{OBE}=\dfrac{\pi R^2.\widehat{BOE}}{360^o}=\dfrac{\pi R^2}{3}\)

$P\le \sqrt{a^2+2\sqrt{a}ab+2b^2}+\sqrt{b^2+2\sqrt{2}bc+2c^2}+\sqrt{c^2+2\sqrt{2}ca+2a^2}$

$P\le \sqrt{{\left(a+\sqrt{2}b\right)}^2}+\sqrt{{\left(b+\sqrt{2}c\right)}^2}+\sqrt{{\left(c+\sqrt{2}a\right)}^2}$

$P\le \left(1+\sqrt{2}\right)\left(a+b+c\right)=1+\sqrt{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)$ và các hoán vị

a) vì đường thẳng y=mx+m+1 cắt đường thẳng y=2x-1 

=> a ≠ a' 

m≠2

 vì hoành độ bằng 2 => x= 2

thay x= 2 vào y=2x-1 ta đc

=> y=2.2-1

<=> y=3 

thay x=2 ; y=3 vào y=mx+m+1

3=m.2+m+1

<=> 2m+m+1=3

<=> 3m=2

<=> m= 2/3 

vậy m=2/3