Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=12\\x_1x_2=4\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=12^2-2.4=136\)

\(\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=12+2\sqrt{4}=16\Rightarrow\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=4\)

\(\Rightarrow T=\dfrac{136}{4}=34\)

pt đã cho có \(\Delta'=\left(-6\right)^2-1.4=32>0\)

\(\Rightarrow\)pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt 

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=12\\x_1x_2=4\end{cases}}\)

Ta có \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=12^2-2.4=136\)

Mặt khác \(\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=12+2\sqrt{4}=16\)\(\Rightarrow\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=4\)

\(\Rightarrow T=\frac{136}{4}=34\)

Đề bị thiếu dữ kiện kìa bạn

Đpcm chỉ có 1 vế kìa.

\(x^3+8-m\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)-m\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-2x-m+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x^2-2x-m+4=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình đã cho có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi  (1) có 2 nghiệm pb khác -2

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(-2\right)^2-2.\left(-2\right)-m+4\ne0\\\Delta'=1-\left(-m+4\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne12\\m>3\end{matrix}\right.\)

pt hoành độ giao điểm của (P) và (d) là \(mx^2=-3x+1\)\(\Leftrightarrow mx^2+3x-1=0\)(*)

pt (*) có \(\Delta=3^2-4.m.\left(-1\right)=4m+9\)

Vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì \(\Delta=4m+9>0\Leftrightarrow m>-\frac{9}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>-\frac{9}{4}\\m\ne0\end{cases}}\)

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét, ta có \(x_1x_2=-\frac{1}{m}\)

A và B nằm cùng phía với trục tung \(\Rightarrow x_1,x_2\)cùng dấu \(\Rightarrow x_1x_2>0\)\(\Rightarrow-\frac{1}{m}>0\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{m}< 0\)\(\Leftrightarrow m< 0\)

Vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn yêu cầu đề bài thì \(-\frac{9}{4}< m< 0\)

\(x+y+z=xyz\Rightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)

Đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=1\)

\(P=\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}\)

\(P=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(P=\sqrt{\dfrac{2a}{a+b}.\dfrac{2a}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{2b}{a+b}.\dfrac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{2c}{c+a}.\dfrac{c}{2\left(c+b\right)}}\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{2a}{a+c}+\dfrac{2b}{a+b}+\dfrac{b}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{2c}{c+a}+\dfrac{c}{2\left(c+b\right)}\right)=\dfrac{9}{4}\)

\(P_{max}=\dfrac{9}{4}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{7}{\sqrt{15}};\dfrac{1}{\sqrt{15}};\dfrac{1}{\sqrt{15}}\right)\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{\sqrt{15}}{7};\sqrt{15};\sqrt{15}\right)\)

104.908.641 nhé

104 908 641