\(1+\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+...+\dfrac{1}{1+2+3+...+20}\)

\(=1+\dfrac{1}{2\cdot\dfrac{3}{2}}+\dfrac{1}{3\cdot\dfrac{4}{2}}+...+\dfrac{1}{20\cdot\dfrac{21}{2}}\)

\(=\dfrac{2}{1\cdot2}+\dfrac{2}{2\cdot3}+\dfrac{2}{3\cdot4}+...+\dfrac{2}{20\cdot21}\)

\(=2\left(\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{20\cdot21}\right)\)

\(=2\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{21}\right)\)

\(=2\left(1-\dfrac{1}{21}\right)=2\cdot\dfrac{20}{21}=\dfrac{40}{21}\)

?

Đề chọn hsg mà

\(-5^{22}-\left\{-222-\left[-122-\left(100-5^{22}\right)+2022\right]\right\}\)

\(=-5^{22}+222+\left[-122-\left(100-5^{22}\right)+2022\right]\)

\(=-5^{22}+222-122-\left(100-5^{22}\right)+2022\)

\(=-5^{22}+100-100+5^{22}+2022=2022\)

a: \(\left(-\dfrac{5}{3}\right)^3< x< \dfrac{-24}{35}\cdot\dfrac{-5}{6}\)

=>\(\dfrac{-125}{27}< x< \dfrac{120}{210}\)

=>\(-\dfrac{125}{27}< x< \dfrac{4}{7}\)

b: \(\left(12x+11\right)\left(y-3\right)=12\)

mà 12x+11>=11 và 12x+11 chia 12 dư 11 vì x tự nhiên

nên \(\left(x,y\right)\in\varnothing\)

A =4 jv?

Gọi d=ƯCLN(2n+3;4n+4)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4n+6⋮d\\4n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(4n+6-4n-4⋮d\)

=>\(2⋮d\)

mà 2n+3 lẻ

nên d=1

=>ƯCLN(2n+3;4n+4)=1

=>\(\dfrac{2n+3}{4n+4}\) là phân số tối giản

Số học sinh lớp 6A chiếm:

\(\dfrac{6}{11+6}=\dfrac{6}{17}\)(tổng số học sinh)

Số học sinh lớp 6C chiếm:

\(\dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}\)(tổng số học sinh)

Số học sinh lớp 6B chiếm:

\(1-\dfrac{6}{17}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{6}{17}=\dfrac{34-18}{51}=\dfrac{16}{51}\)(tổng số học sinh)

Tổng số học sinh khối 6 là:

\(32:\dfrac{16}{51}=102\left(bạn\right)\)

Số điểm còn lại là 50-4=46(điểm)

TH1: Lấy 1 điểm trong 4 điểm thẳng hàng, lấy 1 điểm trong 46 điểm còn lại

=>Có \(46\cdot4=184\left(đường\right)\)

TH2: Lấy 2 điểm bất kì trong 4 điểm thẳng hàng

=>Có 1 đường thẳng

TH3: Lấy 2 điểm bất kì trong 46 điểm còn lại

=>Có \(C^2_{46}=1035\left(đường\right)\)

Số đường thẳng tất cả là:

1035+1+184=1220(đường)

Với mọi số nguyên dương n ta có:

\(\left(2n\right)^2>\left(2n\right)^2-1\)

\(\Rightarrow\left(2n\right)^2>\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(2n\right)^2}< \dfrac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(2n\right)^2}< \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)\)

Áp dụng:

\(A< \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{101}\right)\)

\(A< \dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{101}\right)< \dfrac{1}{2}.1\)

\(A< \dfrac{1}{2}\) (đpcm)