Tập nghiệm của bất phương trình ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x<9$ là
 

1=

 $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số nghịch biếnđồng biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số nghịch biếnđồng biến.

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số nghịch biếnđồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.

Câu 7: Tìm số phức liên hợp của số phức $z=1-2i$

A. $2-i$

B. $-1-2i$

C. $-1+2i$

D. $1+2i$

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left(-1;2;3\right)$ và $B\left(3;0;-2\right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}.$

A. $\overrightarrow{AB}=\left(-4;2;5\right)$

B. $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;\frac{1}{2}\right)$

C. $\overrightarrow{AB}=\left(2;2;1\right)$

D. $\overrightarrow{AB}=\left(4;-2;-5\right)$

Câu 9: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua điểm $A\left(1;2;0\right)$ và vuông góc với đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$ có phương trình là

A. $x+2y-z+4=0$

B. $2x-y-z+4=0$

C. $2x+y-z-4=0$

D. $2x+y+z-4=0$

Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=4x^3$ là

A. $4x^4+C$

B. $12x^2+C$

C. $\frac{x^4}{4}+C$

D. $x^4+C$

Câu 11: Công thức nguyên hàm nào sau đây đúng?

A. $\int e^{x}dx=-e^x+C$

B. $\int dx=x+C$

C. $\int \frac{1}{x}dx=-\ln x+C$

D. $\int \cos xdx=-\sin x+C$

Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(-1;3;2\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(-3;-1;2\right)$. Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}.$

A. 2

B. 10

C. 3

D. 4

Câu 13: Trong không gian Oxyz, điểm $M\left(3;4;-2\right)$ thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $\left(S\right):x+y+z+5=0$

B. $\left(Q\right):x-1=0$

C. $\left(R\right):x+y-7=0$

D. $\left(P\right):z-2=0$

Câu 14: Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I\left(1;0;-3\right)$và bán kính $R=3$?

A. ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+3\right)}^2=9$

B. ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+3\right)}^2=3$

C. ${\left(x+1\right)}^2+y^2+{\left(z-3\right)}^2=3$

D. ${\left(x+1\right)}^2+y^2+{\left(z-3\right)}^2=9$

Câu 15: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua điểm $M\left(-1;2;0\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(4;0;-5\right)$ là

A. $4x-5y-4=0$

B. $4x-5z-4=0$

C. $4x-5y+4=0$

D. $4x-5z+4=0$

Câu 16: Nghiệm của phương trình $\left(3+i\right)z+\left(4-5i\right)=6-3i$ là

A. $z=\frac{2}{5}+\frac{4}{5}i$

B. $z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$

C. $z=\frac{4}{5}+\frac{2}{5}i$

D. $z=1+\frac{1}{2}i$

Câu 17: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+z^2=12$ và song song với mặt phẳng $\left(Oxz\right)$có phương trình là

A. $y+2=0$

B. $x+z-1=0$

C. $y-2=0$

D. $y+1=0$

Câu 18: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-2x$ và trục hoành.

A. 2

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{20}{3}$

D. $\frac{-4}{3}$

Câu 19: Cho $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của$f\left(x\right)$ trên $R$ và $F\left(0\right)=2,$ $F\left(3\right)=7$. Tính $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

A. 9

B. -9

C. 5

D. -5

Câu 20: Gọi $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-6z+14=0$. Tính $S=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|.$

A. $S=3\sqrt{2}$

B. $S=2\sqrt{6}$

C. $S=4\sqrt{3}$

D. $S=2\sqrt{14}$

Câu 21: Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y-z-11=0$ và $\left(Q\right):2x+2y-z+4=0$.

A. $d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=5$

B. $d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=3$

C. $d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=1$

D. $d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=4$

Câu 22: Cho $z=1+\sqrt{3}i$. Tìm số phức nghịch đảo của số phức $z$.

A. $\frac{1}{z}=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i$

B. $\frac{1}{z}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

C. $\frac{1}{z}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

D. $\frac{1}{z}=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i$

Câu 23: Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{2019}{\int }}{e}^{2x}dx.$

A. $I=\frac{1}{2}{e}^{4038}$

B. $I=\frac{1}{2}{e}^{4038}-1$

C. $I=\frac{1}{2}\left(e^{4038}-1\right)$

D. $e^{4038}-1$