a: Xét ΔABC có D,E lần lượt là trung điểm của AC,AB

=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>DE//BC và \(DE=\dfrac{BC}{2}=2\left(cm\right)\)

Xét hình thang BEDC có

M,N lần lượt là trung điểm của EB,DC

=>MN là đường trung bình của hình thang BEDC

=>MN//ED//BC và \(MN=\dfrac{ED+BC}{2}=\dfrac{2+4}{2}=3\left(cm\right)\)

b: Xét ΔBED có MP//ED
nên \(\dfrac{MP}{ED}=\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(MP=\dfrac{1}{2}ED=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot BC=\dfrac{1}{4}BC\)

Xét ΔCED có NQ//ED
nên \(\dfrac{NQ}{ED}=\dfrac{CN}{CD}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(NQ=\dfrac{1}{2}ED=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot BC=\dfrac{1}{4}BC\)

\(MN=\dfrac{1}{2}\left(ED+BC\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}BC+BC\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}BC=\dfrac{3}{4}BC\)

=>\(MP+PQ+QN=\dfrac{3}{4}BC\)

=>\(PQ=\dfrac{3}{4}BC-\dfrac{1}{4}BC-\dfrac{1}{4}BC=\dfrac{1}{4}BC\)

Do đó:MP=PQ=QN

a: 1141;1241;1341;1441

b: 2;4;8;16

a: Ta có: \(\widehat{ICA}+\widehat{ICB}=\widehat{ACB}=90^0\)

\(\widehat{ICB}+\widehat{NCB}=\widehat{NCI}=90^0\)

Do đó: \(\widehat{ICA}=\widehat{NCB}\)

Ta có: \(\widehat{CAI}+\widehat{CBI}=90^0\)(ΔCBA vuông tại C)

\(\widehat{CBI}+\widehat{CBN}=\widehat{NBI}=90^0\)

Do đó: \(\widehat{CAI}=\widehat{CBN}\)

Xét ΔCAI và ΔCBN có

\(\widehat{CAI}=\widehat{CBN}\)

\(\widehat{ICA}=\widehat{NCB}\)

Do đó: ΔCAI~ΔCBN

b: Ta có: \(\widehat{ACM}+\widehat{ACI}=\widehat{ICM}=90^0\)

\(\widehat{ICA}+\widehat{ICB}=\widehat{ACB}=90^0\)

Do đó: \(\widehat{ACM}=\widehat{ICB}\)

Ta có: \(\widehat{CAM}+\widehat{CAB}=\widehat{BAM}=90^0\)

\(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)(ΔCAB vuông tại C)

Do đó: \(\widehat{CAM}=\widehat{CBA}\)

Xét ΔCAM và ΔCBI có

\(\widehat{CAM}=\widehat{CBI}\)

\(\widehat{ACM}=\widehat{BCI}\)

Do đó: ΔCAM~ΔCBI

=>\(\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{AM}{BI}\)

=>\(AC\cdot BI=MA\cdot BC\)

c: Xét tứ giác CIBN có \(\widehat{ICN}+\widehat{IBN}=90^0+90^0=180^0\)

nên CIBN là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{CIN}=\widehat{CBN}\)

=>\(\widehat{CIN}=\widehat{BAC}\)

b: Chọn mp(SAC) có chứa SC

\(I\in SA\subset\left(SAC\right);I\in\left(BIK\right)\)

Do đó: \(I\in\left(SAC\right)\cap\left(BIK\right)\)

Trong mp(ABCD), gọi H là giao điểm của AC và BK

=>\(H\in\left(SAC\right)\cap\left(BIK\right)\)

=>\(\left(SAC\right)\cap\left(BIK\right)=HI\)

Gọi M là giao điểm của HI với SC

=>M là giao điểm của SC với mp(BIK)

Bài 2:

a) \(\dfrac{-7}{-13}=\dfrac{7}{13}\) là số hưu tỉ dương

b) \(\dfrac{2}{-17}=-\dfrac{2}{17}\) là số hưu tỉ âm

c) \(-\dfrac{-6}{5}=\dfrac{6}{5}\) là số hưu tỉ dương

Bài 3:

a) \(-2\dfrac{1}{4}=-\left(2+\dfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{9}{4}\)

b) \(6\dfrac{2}{3}=6+\dfrac{2}{3}=\dfrac{20}{3}\)

c) \(-3\dfrac{1}{4}=-\left(3+\dfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{13}{4}\)

Gọi độ dài mảnh đất ban đầu là x(m)

(Điều kiện: x>0)

Chiều dài mảnh đất mới là x+8(m)

Chiều rộng mảnh đất mới là x+4(m)

Diện tích mảnh đất đó tăng thêm 360m² nên ta có:

\(\left(x+8\right)\left(x+4\right)-x^2=360\)

=>\(x^2+12x+32-x^2=360\)

=>12x=360-32=328

=>\(x=\dfrac{328}{12}=\dfrac{82}{3}\left(nhận\right)\)

Diện tích mảnh đất ban đầu là \(\left(\dfrac{82}{3}\right)^2=\dfrac{6724}{9}\left(m^2\right)\)

`#3107.101107`

\(\dfrac{5}{13}+...=\dfrac{7}{9}\)

\(\dfrac{7}{9}-\dfrac{5}{13}=\dfrac{49}{117}\)

Vậy, chỗ trống cần điền là \(\dfrac{49}{117}.\)

7/9-5/13=46/117

Vậy5/13+46/117=7/9

Ta có:\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\) với mọi \(a;b;c\inℝ\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) với mọi \(a;b;c\inℝ\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow P=a^3+a^3+c^3-3.a.a.a\)

\(\Leftrightarrow P=3a^3-3a^3\)

\(\Leftrightarrow P=0\)

Vậy ...