ĐKXĐ:\(x\ge\frac{1}{2}\)

Đặt \(\sqrt{x^2+2x}=a;\sqrt{2x-1}=b\left(a,b\ge0\right)\)

=> \(3x^2+4x+1=3a^2-b^2\)

Khi đó pt trở thành:

\(a+b=\sqrt{3a^2-b^2}\)

=>\(a^2+b^2+2ab=3a^2-b^2\)

<=>\(2a^2-2ab-2b^2=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}b\\a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}b\left(loại\right)\end{cases}}\)

=> \(\sqrt{x^2+2x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\sqrt{2x-1}\)

=>\(x^2+2x=\left(2x-1\right).\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)

<=>\(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)(thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy nghiệm của pt là \(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

Ta có \(\frac{x+2xy+1}{x+xy+xz+1}=\frac{x+2xy+xyz}{x+xy+xz+xyz}=\frac{1+2y+yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

Tương tự => \(M=\frac{1+2y+yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{1+2z+zx}{\left(1+x\right)\left(z+1\right)}+\frac{1+2x+xy}{\left(1+x\right)\left(y+1\right)}\)

=> \(M=\frac{\left(1+2y+yz\right)\left(1+x\right)+\left(1+2z+zx\right)\left(1+y\right)+\left(1+2x+xy\right)\left(1+z\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)

=>\(M=\frac{6+3\left(x+y+z\right)+3\left(xy+yz+xz\right)}{2+\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+xz\right)}=3\)

ĐKXĐ: \(x-\frac{2}{x}\ge0;2-\frac{2}{x}\ge0;x\ne0\)

Pt <=>\(x\left(\sqrt{x-\frac{2}{x}}-\sqrt{2-\frac{2}{x}}\right)=\left(\sqrt{x-\frac{2}{x}}+\sqrt{2-\frac{2}{x}}\right)\left(\sqrt{x-\frac{2}{x}}-\sqrt{2-\frac{2}{x}}\right)\)

=>\(x\left(\sqrt{x-\frac{2}{x}}-\sqrt{2-\frac{2}{x}}\right)=\left(x-\frac{2}{x}-2+\frac{2}{x}\right)=x-2\)

=>\(\sqrt{x-\frac{2}{x}}-\sqrt{2-\frac{2}{x}}=1-\frac{2}{x}\)(*)

Cộng 2 vế của (*) với phương trình đề bài ta có:

\(2\sqrt{x-\frac{2}{x}}=x+1-\frac{2}{x}\)

=> \(\sqrt{x-\frac{2}{x}}=1\)

=> \(x^2-2-x=0\)=> \(\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}}\)

Thử lại vào pt đề bài ta có x=2 là nghiệm duy nhất của pt

Ta có \(\sqrt[3]{3a^2+2017a-2018}=\sqrt[3]{3a^2+\left(2020a-2019\right)-3a+1}=\sqrt[3]{3a^2-a^3-3a+1}\)

                                                                                                                                                      \(=\sqrt[3]{\left(1-a\right)^3}=1-a\)

Tương tự \(\sqrt[3]{3a^2-2017a+2020}=\sqrt[3]{3a^2+a^3+3a+1}=\sqrt[3]{\left(a+1\right)^3}=a+1\)

=>S=2

Phần đề bài , số 2019 gõ thừa chữ 'a' nhé