A. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Với mọi \(a,b\inℕ\left(b\ne0\right)\) ta luôn tìm được số tự nhiên \(r\) sao cho \(a=bq+r\left(0\le r< b\right)\)
\(a\) là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư
- Nếu \(r=0\) ta có: \(a=bq\) nghĩa là \(a⋮b\) ( \(a\) chia hết cho \(b\)).
- Nếu \(r>0\), ta được phép chia có dư, ta nói rằng \(a\) không chia hết cho \(b\)
2. Các tính chất về phép chia hết:
a) Số 0 chia hết cho mọi số \(b\ne0\).
b) Số \(a\) chia hết cho mọi số \(a\ne0\).
c) Nếu \(a⋮b;b⋮c\) thì \(a⋮c\).
d) Nếu \(a⋮m\) và \(b⋮m\) thì \(a+b⋮m\) và \(a-b⋮m\) .
e) Nếu một trong hai số \(a\) và \(b\) chia hết cho \(m\), số kia không chia hết cho \(m\) thì \(a+b\) và \(a-b\) đều không chia hết cho \(m\).
f) Nếu tổng hoặc hiệu hai số chia hết cho \(m\) và một trong hai số chia hết cho \(m\) thì số còn lại cũng chia hết cho \(m\).
g) Nếu một thừa số của tích chia hết cho \(m\) thì tích đấy chia hết cho \(m\).
h) Nếu \(a⋮m\) thì \(a^n⋮m\) ( \(n\inℕ^∗\)).
i) Nếu \(a⋮n;b⋮m\) thì \(ab⋮mn\)
k) Nếu \(a⋮p;a⋮q\) mà \(\left(p;q\right)=1\)( hai số nguyên tố cùng nhau) thì \(a⋮pq\)
l) Nếu \(ab⋮m\) trong đó: \(\left(b;m\right)=1\) thì \(a⋮m\).
m) Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố \(p\) thì tồn tại một thừa số của tích chia hết cho \(p\).
n) Nếu \(a^n⋮p\) \(,p\) là số nguyên tố thì \(a⋮p\).
3. Dấu hiệu chia hết cho một số số tự nhiên.
a) Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là số chẵn: 0,2,4,6,8
b) Dấu hiệu chia hết cho 3: Tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 3
c) Dấu hiệu chia hết cho 5: Các chữ số tận cùng của số đó là: 0; 5.
d) Dấu hiệu chia hết cho 9: Tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 9
e) Dấu hiệu chia hết cho 4, 25: Hai chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 4, 25 thì chia hết cho 25.
f) Dấu hiệu chia hết cho 8 , 125: Ba chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 8, 125
g) Dấu hiệu chia hết cho 11: Tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn chia hết cho 11, hoặc ngược lại.
B. Các phương pháp giải toán.
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa để chứng minh chia hết.
Để chứng minh \(a\) chia hết cho \(b\) ta biểu diễn số \(a\) dưới dạng một tích các thừa số trong đó có một thừa số bằng \(b\) hoặc chia hết cho \(b\)
Bài tập 1: Không thực hiện phép chia hãy chứng tỏ:
a) 123.125 chia hết cho 25
b) 1111.26 chia hết cho 11; 13; 143
Bài làm:
a) \(123.125=123.\left(5.25\right)=123.5.25⋮25\)
b) \(1111.26=\left(11.101\right).26=11.101.26⋮11\)
\(1111.26=1111.\left(13.2\right)=1111.13.2⋮13\)
\(1111.26=\left(101.11\right).\left(2.13\right)=101.\left(11.13\right).2=101.143.2⋮143\)
Bài tập luyện thêm:
c) 2008.101 chia hết cho 1004
d) 1919.36 chia hết cho 19
Bài tập 2: Chứng minh mệnh đề sau:
a) \(\left(2a\right)^{10}\) chia hết cho 32 với mọi số tự nhiên a.
b) \(\left(13a\right)^{2001}\) chia hết cho 169 với mọi số tự nhiên a.
Bài giải:
a) \(\left(2a\right)^{10}=2^{10}.a^{10}=2^5.2^5.a^{10}=32.2^5.a^{10}⋮32\)
b) \(\left(13a\right)^{2001}=13^{2001}.a^{2001}=13^2.13^{1999}.a^{2001}=169.13^{1999}.a^{2001}⋮169\)
Bài tập luyện thêm:
c) \(\left(7n\right)^{1996}\) chia hết cho \(49n\) với mọi số tự nhiên n lớn hơn 0
d) \(\left(12n\right)^{12345}\) chia hết cho 1024, 144
Bài tập 3: Chứng minh rằng:
a) \(16^5+2^{15}\) chia hết cho 33
b) \(7^6+7^5-7^4\) chia hết cho 55
Bài giải:
a) \(16^5+2^{15}=\left(2^4\right)^5+2^{15}=2^{20}+2^{15}=2^{15}\left(2^5+1\right)=2^{15}.33\) chia hết cho 33
b) \(7^6+7^5-7^4=7^4\left(7^2+7-1\right)=7^4.55\) chia hết cho 55
Bài tập luyện thêm:
c) \(7^{86}+7^{85}-7^{84}\) chia hết cho 55
d) \(16^7-2^{24}\) chia hết cho 15
e) \(2^{2000}+2^{2002}\) chia hết cho 5120
Bài tập 4: Chứng minh:
a) \(A=1+3+3^2+...+3^{11}\) chia hết cho 4 và 13
b) \(B=1+4+4^2+4^3+...+4^{2012}\) chia hết cho 21
Bài giải:
a)
\(A=1+3+3^2+...+3^{11}\)
\(=\left(1+3\right)+\left(3^2+3^3\right)+...+\left(3^{10}+3^{11}\right)\)
\(=4+3^2\left(1+3\right)+...+3^{10}\left(1+3\right)\)
\(=4+3^2.4+...+3^{10}.4\)
\(=4.\left(1+3^2+3^4+...+3^{10}\right)\) chia hết cho 4
\(A=1+3+3^2+...+3^{11}\)
\(=\left(1+3+3^2\right)+\left(3^3+3^4+3^5\right)+...+\left(3^9+3^{10}+3^{11}\right)\)
\(=\left(1+3+3^2\right)+3^3\left(1+3+3^2\right)+...+3^9\left(1+3+3^2\right)\)
\(=13+3^3.13+3^6.13+3^9.13\)
\(=13\left(1+3^3+3^6+3^9\right)\) chia hết cho 13
b)
\(B=1+4+4^2+4^3+...+4^{2012}\)
\(=\left(1+4+4^2\right)+\left(4^3+4^4+4^5\right)+...+\left(4^{2010}+4^{2011}+4^{2012}\right)\)
\(=\left(1+4+4^2\right)+4^3\left(1+4+4^2\right)+...+4^{2010}\left(1+4+4^2\right)\)
\(=21+4^3.21+4^6.21+...+4^{2010}.21\)
\(=21\left(1+4^3+4^6+...+4^{2010}\right)\) chia hết cho 21
Bài tập luyện thêm.
c) \(C=5+5^2+5^3+...+5^8\) chia hết cho 30
d) \(D=2+2^2+2^3+...+2^{60}\) chia hết cho 3, 7, 15
Bài tập 5: Chứng minh rằng:
a) \(\overline{abab}\) chia hết cho \(\overline{ab}\)
b) \(\overline{abcabc}\) chia hết cho 7,11, 13
Bài giải:
a)
\(\overline{abab}=\overline{ab}.100+\overline{ab}=\overline{ab}\left(100+1\right)=101.\overline{ab}\) chia hết cho \(\overline{ab}\)
b)
\(\overline{abcabc}=\overline{abc}.1000+\overline{abc}=\overline{abc}\left(1000+1\right)=\overline{abc}.1001=\overline{abc}.11.13.7\) chia hết cho 11, 13, 7
Bài tập luyện thêm:
c) \(\overline{abcabc}\) chia hết cho \(\overline{abc}\)
d) \(\overline{abcdeg}\) chia hết cho 23, 29. Biết: \(\overline{abc}=2\overline{deg}\)
Phương pháp 2: Ứng dụng các tính chất của quan hệ chia hết để làm bài
Sử dụng các tính chất đã được nêu trên để làm bài
Bài tập 1: Chứng minh rằng
a) 45+90+180 chia hết cho 5
Vì: \(45⋮5;90⋮5;180⋮5\) nên \(45+90+180⋮5\)
( sử dụng tính chất 2d ở phần A. Lí thuyết)
b) 5124 -504 chia hết cho 4
Vì \(5124=4.1281⋮4;504=126.4⋮4\)
nên \(5124-504\) chia hết cho 4
Bài tập luyện thêm:
c) \(123+93+321\) chia hết cho 3
d) \(195-26\) chia hết cho 13
Bài tập 2: Chứng minh các mệnh đề sau:
a) Tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
b) Với mọi số tự nhiên n thì 60n +45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 20
Bài giải:
a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp lần lượt là:
\(a;a+1;a+2\)
Tổng ba số tự nhien liên tiếp sẽ là:
\(a+\left(a+1\right)+\left(a+2\right)=3a+3⋮3\) ( vì \(3a⋮3;3⋮3\))
b) Với mọi số tự nhiên n ta có:
+) \(60n=15.4.n⋮15\); \(45=3.15⋮15\)
=> \(60n+45⋮15\)
+) \(60n=3.20.n⋮20\) ; \(45⋮̸20\)
=> \(60n+45⋮̸20\)
Bài tập luyện thêm:
c) Không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 và chia cho 9 dư 1
d) Với mọi số tự nhiên n: \(A=n^2+n+1\) không chia hết cho 2 và 5
Bài tập 3: Tìm số tự nhiên thỏa mãn các điều kiện:
a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao chi nếu viết nó tiếp sau số 1999 thì ta được một số chia hết cho 37
b) Tìm số tự nhiên a, biết rằng: \(\overline{20a20a20a}\) chia hết cho 7
Bài giải:
a) Gọi số phải tìm là: \(\overline{ab}\) .
Theo đề bài:
\(\overline{1999ab}⋮37\)
\(\Rightarrow199900+\overline{ab}⋮37\Rightarrow5402.37+26+\overline{ab}⋮37\)
Vì \(5402.37⋮37\)
=> \(26+\overline{ab}⋮37\)
mà \(9< \overline{ab}< 100\)
=> \(\overline{ab}\in\left\{11;48;85\right\}\)
b) Ta có:
\(\overline{20a20a20a}=\overline{20a}.1000000+\overline{20a}.1000+\overline{20a}=\overline{20a}.1001000+\overline{20a}=\overline{20a}.143.7.1000+\overline{20a}\)
Để: \(\overline{20a20a20a}⋮7\)
=> \(\overline{20a}⋮7\)
=> \(200+a⋮7\)
=> \(28.7+4+a⋮7\)
=> \(4+a⋮7\)
mà: \(0\le a\le9\)
=> a=3
Bài tập luyện thêm:
c) Tìm một số có hai chữ số sao cho nếu viết nó tiếp sau số 2003 ta được một số chia hết cho 37
