1. (chuyên Phan Bội Châu)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=a+b+c+2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2+a^2}}\)
Tham khảo cách làm của các bạn trên OLM:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
2. (môn Toán chung_ Chuyên Sư phạm Hà Nội)
Cho các số thực x, y thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=xy\left(x-2\right)\left(y+6\right)+13x^2+4y^2-26x+24y+46\)
Tham khảo cách làm của bạn Đào Thu Hòa trên OLM:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath
3.( Tỉnh Bắc Ninh)
Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn \(a^2+b^2=2\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(M=\dfrac{a^3+b^3+4}{ab+1}\)
Tham khảo cách làm của các bạn học sinh trên OLM :
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
4. ( chuyên Nguyễn Trãi_Hải Dương)
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)
Tham khảo cách làm cách làm của bạn Hoàng Đức Khải trên OLM:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
5. ( Hải Dương)
Cho các số dương \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện: \(a+b+c=2019\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ac+2a^2}\)
6. (chuyên Hòa Bình)
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy+zx+4yz=32
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=x^2+16y^2+16z^2\)
Tham khảo cách làm của bạn Trần Thùy Linh trên OLM:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath
7. ( chuyên Hoàng Văn Thụ)
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a+b=4ab
Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
Tham khảo cách làm của các bạn trên OLM:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath
8. ( tỉnh Vũng Tàu)
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn \(x+y\le3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{1}{5xy}+\dfrac{5}{x+2y+5}\)
Tham khảo cách làm của bạn Hoàng Đức Khải trên OLM:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath
9. ( Sở GD Hà Nam)
Cho a, b, c là các số thực dương bà thỏa mãn điều kiện abc=1
Chứng minh \(\dfrac{1}{2+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{2+c}\le1\)
Tham khảo cách làm của bạn tth_new trên OLM:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath
10. ( chuyên Hùng Vương)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge\dfrac{4a}{a+c}\)
Tham khảo cách làm của các bạn trên OLM:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath
11. ( Sở Lai Châu)
Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{ab}{a+b+2c}+\dfrac{bc}{b+c+2a}+\dfrac{ca}{a+c+2b}\le\dfrac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)
Tham khảo cách làm của các bạn trên OLM:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath
12. ( Chuyên Lê Quý Đôn_ Bà Rịa- Vũng Tàu)
Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le3.\)
Tính giá trị lớn nhất của biể thức: \(P=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2-ac+3a^2+1}}\)
Tham khảo bài làm của các bạn trên OLM:
13. ( chuyên Hà Nam)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: \(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\le1\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)
Tham khảo cách làm của các bạn trên OLM:
14. ( Nam Định)
Xét các số x, y, z thay đổi thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3-3xyz=2\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)^2+4\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)
Tham khảo cách làm của bạn Trần Phúc Khang trên OLM:
15. ( Thái Bình)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c+ab+bc+ac=6\)
Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge3\)
Tham khảo cách làm của các bạn trên OLM:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
16. ( môn Toán chung _ chuyên Thái Bình)
Xét các số thực a, b, c ( a khác 0) sao cho:
Phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\) có hai nghiệm m, n thỏa mãn: \(0\le m\le1;0\le n\le1\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q=\dfrac{2a^2-ac-2ab+bc}{a^2-ab+ac}\)
Tham khảo cách làm của bạn Incursion trên OLM:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath
17. ( Lạng Sơn)
Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn a+b+c=1.
Chứng minh rằng: \(a+2b+c\ge4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
Tham khảo cách làm của bạn Đào Thu Hòa trên OLM:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath
18. ( Đồng Nai)
Cho ba số thực a, b, c. Chứng minh rằng:
\(\left(a^2-bc\right)^3+\left(b^2-ca\right)^3+\left(c^2-ab\right)^3\ge3\left(a^2-bc\right)\left(b^2-ca\right)\left(c^2-ab\right)\)
Tham khảo cách làm của bạn Incursion trên OLM:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath
19. ( Đắk Lắk
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: \(x+2y+3z=2\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(S=\sqrt{\dfrac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\dfrac{3yz}{3yz+x}}+\sqrt{\dfrac{3xz}{3xz+4y}}\)
20. ( Thanh Hóa)
Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc=1\). Chứng minh rằng:
\(\dfrac{ab}{a^4+b^4+ab}+\dfrac{bc}{b^4+c^4+bc}+\dfrac{ca}{c^4+a^4+ac}\le1\)
21. ( Vĩnh Long)
Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa: \(x+y=1\)
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=2x^2-y^2+x+\dfrac{1}{x}+1\)
22.( Bình Định)
Cho \(x,y\) là hai số thực thỏa: \(\left\{{}\begin{matrix}x>y\xy=1\end{matrix}\right.\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\)
23. ( chuyên Trần Hưng Đạo_Bình Thuận)
Cho \(x,y,z\) thỏa mãn \(xyz=\dfrac{1}{2}\)
Chứng minh rằng: \(\dfrac{yz}{x^2\left(y+z\right)}+\dfrac{zx}{y^2\left(x+z\right)}+\dfrac{xy}{z^2\left(x+y\right)}\ge xy+yz+zx\)
24. ( Cao Bằng)
Cho biểu thức \(P=\dfrac{mx-2019}{x^2}\) với \(x\ne0\).
Tính các số thực dương \(m\) để biểu thức \(P\) có giá trị lớn nhất là \(2019\).
25. ( chuyên Lâm Đồng)
Cho các số \(a,b,c,x,y,z\) đều khác 0 và thỏa mãn các điều kiện:
\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\) và \(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0\)
Chứng minh: \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\)
26. (Ninh Bình)
Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x+y+z\ge2019\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(T=\dfrac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\dfrac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\dfrac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\)
27. ( Quảng Bình)
Cho \(x,y\) là hai số thực dương thỏa mãn \(x+y=\dfrac{2020}{2019}\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{2019}{x}+\dfrac{1}{2019y}\)
28. ( sở GD Hà Nội)
Cho biểu thức \(P=a^4+b^4-ab\), với \(a,b\) là các số thực thỏa mãn \(a^2+b^2+ab=3\)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P\).
29. ( chuyên Tin_ sở GD Hà Nội)
Cho các số thực dương \(a,b,c\) thay đổi thỏa mãn \(ab+bc+ca+abc=4\)
1. Chứng minh \(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1\)
2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}+4}\)
30. ( Bắc Giang)
Cho \(x,y\) là các số thực thỏa mãn điều kiện \(x^2+y^2=1\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\left(3-x\right)\left(3-y\right)\)
31. ( chuyên Tây Ninh)
Chứng minh: \(\left(x+y+z\right)^3+9xyz\ge4\left(x+y+z\right)\left(zy+yz+zx\right)\)
với \(x,y,z\) là các số thực không âm. Đẳng thức xảy ra khi nào?
32. ( chuyên Ninh Thuận)
Cho x, y là các số thực không âm sao cho \(x\le3\) và \(y\le4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{x}{x^2-2x+y+9}+\dfrac{y}{y^2-3y+x+9}+\dfrac{1}{x+y+1}\)
33. ( chuyên Bình Phước)
a) Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy\le1\). Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}\le\dfrac{2}{1+\sqrt{xy}}\)
b) Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(\left(x+y\right)^3+4xy\le12\)
Tìm giá trị lớn nhất của \(P=\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+2018xy\)
34. ( Quảng Ninh)
Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x+y+z\le1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{2019}{xy+yz+zx}\)
35. ( Hà Tĩnh)
Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(a+b+3ab=1\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{12ab}{a+b}-a^2-b^2\)
36. ( môn Toán chung_ chuyên KHTN Hà Nội)
Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy+yz+zx=1\)
Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\)
37. ( môn Toán chuyên _ chuyên KHTN Hà Nội)
Cho \(x,y\) là số thực dương thỏa mãn điều kiện \(4x^2+4y^2+17xy+5x+5y\ge1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=17x^2+17y^2+16xy\)
38. ( Hưng Yên)
Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3xyz\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{x^2}{x^4+yz}+\dfrac{y^4}{y^4+xz}+\dfrac{z^2}{z^4+xy}\)
39. ( môn Toán chuyên _Hưng Yên )
Với \(x,y\) là các số thực thỏa mãn \(\left(2+x\right)\left(y-1\right)=\dfrac{9}{4}\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}+\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}\).
40. ( môn Toán chung _ chuyên Lê Hồng Phong_Nam Định)
Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x+y+z=2019xyz\).
Chứng minh rằng:
\(\dfrac{x^2+1+\sqrt{2019x^2+1}}{x}+\dfrac{y^2+1+\sqrt{2019y^2+1}}{y}+\dfrac{z^2+1+\sqrt{2019z^2+1}}{z}\le2019.2020xyz\)
