Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu SVIP

1. SỐ TRUNG BÌNH

Cho mẫu số liệu \(x_1,x_2,...,x_n\). 

Số trung bình (hay số trung bình cộng) của mẫu số liệu này, kí hiệu là \(\overline{x}\), được tính theo công thức:

\(\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\)

 Khi mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số

Công thức tính số trung bình là: 

\(\overline{x}=\dfrac{x_1n_1+x_2n_2+...+x_kn_k}{n}\)

trong đó \(n=n_1+n_2+...+n_k\) và được gọi là cỡ mẫu.

Chú ý: Nếu kí hiệu \(f_k=\dfrac{n_k}{n}\) là tần số tương đối (hay còn gọi là tần suất) của \(x_k\) trong mẫu số liệu thì số trung bình: \(\overline{x}=f_1x_1+f_2x_2+...+f_kx_k.\)

 Ý nghĩa của số trung bình

Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đo xu thế trung tâm của mẫu đó.

Ví dụ 1. Cho bảng phân bố tần số

Khối lượng \(30\) quả trứng gà trong một rổ trứng gà

Tính khối lượng trung bình của mỗi quả trứng gà.

Giải

Khối lượng trung bình của mỗi quả trứng gà là

\(\overline{X}=\dfrac{25.3+30.5+35.10+40.6+45.4+50.2}{30}=36,5\) (g)

2. TRUNG VỊ VÀ TỨ PHÂN VỊ

a. Trung vị

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: \(x_1\le x_2\le...\le x_n\)

Trung vị của mẫu, kí hiệu là \(M_e\), là giá trị ở chính giữa dãy \(x_1,x_2,...,x_n\). Cụ thể:

• Nếu \(n=2k+1,k\inℕ\) thì trung vị của mẫu \(M_e=x_{k+1}.\)
• Nếu \(n=2k,k\inℕ\) thì trung vị của mẫu \(M_e=\dfrac{1}{2}\left(x_k+x_{k+1}\right).\)

Ý nghĩa của trung vị

Trung vị được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu. Trung vị là giá trị nằm ở chính giữa của mẫu số liệu theo nghĩa: luôn có ít nhất \(50\%\) số liệu trong mẫu lớn hơn hoặc bằng trung vị và ít nhất \(50\%\) số liệu trong mẫu nhỏ hơn hoặc bằng trung vị. Khi trong mẫu xuất hiện thêm một giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ thì số trung bình sẽ bị thay đổi đáng kể nhưng trung vị thì ít thay đổi.

Ví dụ 2: Tìm số trung vị cho mẫu số liệu ở ví dụ 1?

Giải

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự

Do số giá trị của mẫu số liệu là \(30\) nên số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị thứ \(15\) (có giá trị là \(35\)) và \(16\) (có giá trị là \(35\)) của mẫu số liệu vậy số trung vị là \(\dfrac{35+35}{2}=35.\)

b. Tứ phân vị

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: \(x_1\le x_2\le...\le x_n\).

Tứ phân vị của một mẫu số liệu gồm ba giá trị, gọi là tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba (lần lượt kí hiệu là \(Q_1,Q_2,Q_3\)). Ba giá trị này chia tập hợp dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần đều nhau. Cụ thể:

Giá trị tứ phân vị thứ hai, \(Q_2\) chính là số trung vị của mẫu.

Giá trị tứ phân vị thứ nhất, \(Q_1\) là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái \(Q_2\) (không bao gồm \(Q_2\) nếu \(n\) lẻ).

Giá trị tứ phân vị thứ ba, \(Q_3\) là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải \(Q_2\) (không bao gồm \(Q_2\) nếu \(n\) lẻ).

Ý nghĩa của tứ phân vị

• Các điểm tứ phân vị \(Q_1,Q_2,Q_3\) chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, mỗi phần chứa khoảng \(25\%\) tổng số liệu đã được thu thập.
• Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\) còn được gọi là tứ phân vị dưới và đại diện cho nửa mẫu số liệu phía dưới. Tứ phân vị thứ ba \(Q_3\), còn được gọi là tứ phân vị trên và đại diện cho nửa mẫu số liệu phía trên.

Ví dụ 3. Thời gian đọc sách (đơn vị giờ) trong một ngày của một số học sinh lớp 10 được cho như sau:

Hãy tìm các tứ phân vị?

Giải

Sắp xếp các giá trị theo thứ tự không giảm

Vì \(n=10\) là số chẵn nên \(Q_2\) là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa:

\(Q_2=\dfrac{2+2}{2}=2\).

\(Q_1\) là trung vị của nửa số liệu bên trái \(Q_2\):

tìm được \(Q_1\) là giá trị chính giữa, \(Q_1=1.\)

\(Q_3\) là trung vị của nửa số liệu bên phải \(Q_2\):

tìm được \(Q_3\) là giá trị chính giữa, \(Q_3=3.\)

3. MỐT

Cho một mẫu số liệu dưới dạng bảng tần số. Giá trị có tần số lớn nhất được gọi là mốt của mẫu số liệu và kí hiệu là \(M_0\).

Ý nghĩa của mốt

Mốt đặc trưng cho giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu.

Chú ý: Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt. Khi tất cả các giá trị trong mẫu số liệu có tần số xuất hiện như nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt.

Ví dụ 4. Hãy tìm mốt trong mẫu số liệu ở ví dụ 1 và ví dụ 3.

Giải

Trong ví dụ 1, vì số trứng gà có khối lượng \(35\) g là nhiều nhất (\(10\) quả) nên mốt là \(35\).

Trong ví dụ 3, vì số học sinh đọc \(2\) tiếng mỗi ngày là lớn nhất (\(3\) học sinh) nên mốt là \(2\).