Đại lượng tỉ lệ nghịch SVIP

I. KHÁI NIỆM

Vận tốc ($v$) của xe ô tô trên quãng đường AB bằng độ dài quãng đường AB (180 km) chia cho thời gian ($t$) ô tô đi từ A đến B. Ta nói $v$ tỉ lệ nghịch với $t$ theo hệ số tỉ lệ 180.

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức \(y=\dfrac{a}{x}\) hay $xy=a$ (với $a$ là một hằng số khác 0) thì ta nói $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$.

Lưu ý:

Nếu $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$ thì $x$ cũng tỉ lệ nghịch với $y$ theo hệ số tỉ lệ $a$. Ta nói $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Ví dụ: Cho biết $x$, $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi $x=12$ thì $y=3$.

a) Tìm hệ số tỉ lệ.

b) Viết công thức tính $y$ theo $x$.

c) Điền số thích hợp vào chỗ trống trong bảng sau:

Giải

a) Ta có $xy=12.3=36$ nên hệ số tỉ lệ là 36.

b) Do $xy=36$ nên \(y=\dfrac{36}{x}\).

c) Khi $x=-9$ thì \(y=\dfrac{36}{-9}=-4\).

Khi $x=-3,6$ thì \(y=\dfrac{36}{-3,6}=-10\).

Khi $x=6$ thì \(y=\dfrac{36}{6}=6\).

Khi $x=18$ thì \(y=\dfrac{36}{18}=2\).

Vậy ta có bảng sau:

II. TÍNH CHẤT

Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì: 

• Tích của hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ);
• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Cụ thể: Giả sử $y$ tỉ lệ với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$. Với mỗi giá trị $x_1$, $x_2$, $x_3$, ... khác 0 của $x$, ta có một giá trị tương ứng $y_1$, $y_2$, $y_3$, ... của $y$. Khi đó:

• $x_1 y_1 = x_2 y_2 = x_3 y_3 = ... = a$ hay \(\dfrac{x_1}{\dfrac{1}{y_1}}=\dfrac{x_2}{\dfrac{1}{y_2}}=\dfrac{x_3}{\dfrac{1}{y_3}}=...=a\);
• \(\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_2}{y_1}\); \(\dfrac{x_1}{x_3}=\dfrac{y_3}{y_1}\); ...

Ví dụ: Theo kế hoạch, một đội sản xuất cần phải hoàn thành công việc trong 12 ngày. Do áp dụng cải tiến kĩ thuật nên năng suất lao động của đội đã tăng lên và bằng \(\dfrac{3}{2}\) năng suất lao động dự kiến. Hỏi trên thực tế đội đã hoàn thành công việc đó trong bao nhiêu ngày?

Giải

Gọi $t$ là số ngày thực tế đội sản xuất hoàn thành công việc.

Vì năng suất lao động thực tế bằng \(\dfrac{3}{2}\) năng suất lao động dự kiến nên tỉ lệ giữa năng suất lao động thực tế và năng suất lao động dự kiến là \(\dfrac{3}{2}\).

Mà năng suất lao động và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên \(\dfrac{12}{t}=\dfrac{3}{2}\).

Do đó: \(t=\dfrac{2.12}{3}=8\) (ngày).

Vậy thời gian thực tế đội sản xuất hoàn thành công việc là 8 ngày.

III. MỘT SỐ BÀI TOÁN

Bài toán 1. Theo kế hoạch, một đội công nhân phải làm xong một công việc trong 15 giờ. Nhưng khi bắt đầu công việc, đội phải điều động 6 công nhân đi làm việc khác. Hỏi đội đã hoàn thành công việc đó trong bao nhiêu giờ? Giả sử năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau.

Giải

Số công nhân làm việc trên thực tế của đội sản xuất là:

$24-6=18$ (công nhân).

Gọi $x$ (công nhân), $y$ (giờ) lần lượt là số công nhân và thời gian đội sản xuất hoàn thành công việc. Khi đó, mỗi quan hệ giữa số công nhân ($x$) và thời gian hoàn thành công việc ($y$) được cho trong bảng sau:

Ta có thời gian hoàn thành công việc tỉ lệ nghịch với số công nhân làm việc theo hệ số tỉ lệ

$a=x_1 . y_1 = 24.15=360$.

Suy ra $18.y_2 =360$. Vì thế $y_2 = 360 : 18 =20$ (giờ).

Vậy trên thực tế đội đã hoàn thành công việc trong 20 giờ.

Bài toán 2. Để tổ chức liên hoan cho gia đình, bác Ngọc dự định mua 2,9 kg thực phẩm gồm: thịt bò, thịt lợn, tôm sú. Số tiền bác Ngọc mua mỗi loại thực phẩn là như nhau. Biết giá thịt bò là 280 nghìn đồng/kg, giá thịt lợn là 160 nghìn đồng/kg và giá tôm su là 320 nghìn đồng/kg. Mỗi loại thực phẩm bác Ngọc mua được là bao nhiêu ki-lô-gam ?

Giải

Gọi $x$ (kg); $y$ (kg), $z$ (kg) lần lượt là số lượng thịt bò, thịt lợn và tôm sú mà bác Ngọc mua được. Khi đó: $x+y+z=2,9$.

Vì số tiền mua mỗi loại thực phẩm là như nhau nên 

$280.x=160.y=320.z$

hay: $7.x=4.y=8.z$

Suy ra: \(\dfrac{x}{\dfrac{1}{7}}=\dfrac{y}{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{z}{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{x+y+z}{\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}}=\dfrac{2,9}{\dfrac{29}{56}}=5,6\).

Do đó: \(x=5,6.\dfrac{1}{7}=0,8\) (kg);

\(y=5,6.\dfrac{1}{4}=1,4\) (kg);

\(z=5,6.\dfrac{1}{8}=0,7\) (kg).

Vậy số lượng thịt bò, thịt lợn, tôm sú mà bác Ngọc mua được lần lượt là: 0,8 kg; 1,4 kg; 0,7 kg.