Đề số 5 (thời gian: 90 phút) SVIP

Hướng dẫn giải:

a) \(3x-12=0\Leftrightarrow3x=12\Leftrightarrow x=4\).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{4\right\}\).

b) \(2x+1=7-x\Leftrightarrow2x+x=7-1\Leftrightarrow3x=6\Leftrightarrow x=2\).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{2\right\}\).

c) \(\left(x-2\right)\left(2x+3\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\2x+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{-\dfrac{3}{2};2\right\}\).

d) \(\dfrac{x-3}{x+1}=\dfrac{x^2}{x^2-1}\) (đk: \(x\ne\pm1\))

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{x^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)

\(\Rightarrow\left(x-3\right)\left(x-1\right)=x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+3=x^2\)

\(\Leftrightarrow-4x+3=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}\) (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{\dfrac{3}{4}\right\}\).

Hướng dẫn giải:

a) Thay $m=1$ vào phương trình (1) ta được: 

\(x+6\left(x+1\right)=5x+3\)

\(\Leftrightarrow x+6x+6=5x+3\)

\(\Leftrightarrow2x=-3\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-3}{2}\).

Vậy với $m=1$ phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}\).

b) Ta có: 

\(A=\dfrac{x^2+2x+3}{x^2+2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(x^2+2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x^2+4x+4\right)}{x^2+2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x^2+2}\ge\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x+2=0\Leftrightarrow x=-2\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(\dfrac{1}{2}\) đạt tại \(x=-2\).

Ta cần tìm $m$ để phương trình (1) có nghiệm duy nhất $x=-2$. 

Thế $x=-2$ vào phương trình (1) ta được: 

\(m^2.\left(-2\right)+6\left(-2+1\right)=m\left[5.\left(-2\right)+3\right]\)

\(\Leftrightarrow2m^2-7m+6=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-3m-4m+6=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(2m-3\right)-2\left(2m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(2m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-2=0\\2m-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\).

Với \(m=2\) phương trình (1) trở thành: 

\(4x+6\left(x+1\right)=2\left(5x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow0x=0\).

Phương trình này có vô số nghiệm (loại).

Với \(m=\dfrac{3}{2}\) phương trình (1) trở thành: 

\(\dfrac{9}{4}x+6\left(x+1\right)=\dfrac{3}{2}\left(5x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{4}x=-\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=-2\) (thỏa mãn).

Vậy \(m=\dfrac{3}{2}\) thỏa mãn ycbt. 

Hướng dẫn giải:

Gọi độ dài quãng đường $AB$ là $x$ ($\mathrm{km}$), $x>0$.

Thời gian xe máy đi từ $A$ đến $B$ là \(\dfrac{x}{40}\) giờ.

Thời gian xe máy đi từ $B$ về $A$ là \(\dfrac{x}{30}\) giờ. 

Tổng thời gian đi của người đó là: 

$3$ giờ $40$ phút $-10$ phút $=3$ giờ $30$ phút $=3,5$ giờ.

Ta có phương trình: 

\(\dfrac{x}{40}+\dfrac{x}{30}=3,5\Leftrightarrow30x+40x=3,5.40.30\Leftrightarrow x=60\) (thỏa mãn)

Vậy độ dài quãng đường $AB$ là $60 \mathrm{~km}$. 

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh: $\triangle KMN \backsim \triangle QPM$

Xét $\triangle KMN$ và $\triangle QPM$ có: 

$\widehat{MKN} = \widehat{MQP} =90^\circ$

$\widehat{KMN} = \widehat{QPM}$ ($MN \parallel PQ$, hai góc so le trong)

suy ra $\triangle KMN \backsim \triangle QPM$ (g.g)

b) Tính $MK$, $KN$

Sử dụng định lí Pythagoras dễ dàng tính được $MP =10 \mathrm{~cm}$.

Vì $\triangle KMN \backsim \triangle QPM$ do đó

\(\dfrac{KM}{QP}=\dfrac{MN}{PM}=\dfrac{KN}{QM}\) hay \(\dfrac{KM}{8}=\dfrac{KN}{6}=\dfrac{8}{10}\)

suy ra $KM=6,4 \mathrm{~cm}$; $KN=4,8 \mathrm{~cm}$.

c) Chứng minh $MI.MK=PI.KN$

Ta có: \(\dfrac{KN}{QM}=\dfrac{KM}{QP}\Leftrightarrow\dfrac{KN}{KM}=\dfrac{QM}{QP}\).

Lại có $QI$ là đường phân giác trong tam giác $QPM$ suy ra \(\dfrac{IM}{IP}=\dfrac{QM}{QP}\).

Do đó \(\dfrac{KN}{KM}=\dfrac{IM}{IP}\Leftrightarrow MI.MK=PI.KN\).

Hướng dẫn giải:

a) Vì $KP \parallel NQ$ nên \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{x}{8}\Leftrightarrow x=4\).

b) Chứng minh $EM=NF$

Kẻ \(AA',CC',EE',FF'\) vuông góc với $BD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Ta có \(\dfrac{EM}{MF}=\dfrac{EE'}{FF'}=\dfrac{\dfrac{1}{3}AA'}{\dfrac{1}{3}CC'}=\dfrac{AA'}{CC'}=\dfrac{OA}{OC}\)

Tương tự ta cũng có \(\dfrac{FN}{NE}=\dfrac{OB}{OD}\).

mà \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\) suy ra \(\dfrac{EM}{MF}=\dfrac{FN}{NE}\Rightarrow\dfrac{EM}{MF+EM}=\dfrac{FN}{NE+FN}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{EM}{EF}=\dfrac{FN}{EF}\) hay $EM = FN$.