Nội dung đề thi (120 phút) SVIP

Hướng dẫn giải:

$\begin{aligned}
A &=\sqrt{64}+\sqrt{16}-2 \sqrt{36} \\
&=8+4-2.6=0
\end{aligned}$

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng $y=a x+b$ song song với đường thẳng $y=3 x$. Suy ra $a=3 ; b \neq 0$.
Đường thẳng $y=a x+b$ đi qua $M(1 ; 9)$. Suy ra: $9=a .1+b \Rightarrow 9=3.1+b \Rightarrow b=6$ (Thỏa mãn).
Vậy $a=3 ; b=6$.

Hướng dẫn giải:

Với $x>0 ; x \neq 1$
$\begin{aligned}
P &=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2}{1+\sqrt{x}}\right) \cdot \\
&=\left(\frac{1+\sqrt{x}-2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}}(1+\sqrt{x})\right.\\
&=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+x} \cdot \frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}} \\
&=1\end{aligned}$

Hướng dẫn giải:

$2 x^{2}-5 x+2=0$
Xét $\Delta=b^{2}-4 a c=(-5)^{2}-4.2 .2=9>0 \Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}=\dfrac{5+\sqrt{9}}{2.2}=2 \quad x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}=\dfrac{5-\sqrt{9}}{2.2}=\frac{1}{2}$
Vậy phương trình có hai nghiệm là 2 và $\dfrac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải:

$x^{2}-12 x+4=0$
Xét $\Delta^{\prime}=b^{\prime 2}-a c=(-6)^{2}-1.4=32>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=12 \\ x_{1} x_{2}=4 \Rightarrow x_{1}>0, x_{2}>0\end{array}\right.$
Ta có:
$$
T^{2}=\left(\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}}\right)^{2}=\frac{\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{2}}{\left(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}\right)^{2}}=\frac{\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}\right]^{2}}{x_{1}+x_{2}+2 \sqrt{x_{1} x_{2}}}=\frac{\left(12^{2}-2.4\right)^{2}}{12+2 \sqrt{4}}=1156
$$
Nhận xét $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>0$ và $\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}>0$ với mọi $x_{1}, x_{2}>0$ suy ra $T>0$ $\Rightarrow T=\sqrt{T^{2}}=\sqrt{1156}=34$
Vây $T=34$.

Hướng dẫn giải:

Gọi số người xem MV là $x$ (triệu người) $(x>0$ )
Theo đề bài có $60 \%$ số người đã xem 2 lượt, $40 \%$ số người đã xem 1 lượt và tổng lượt xem
MV là 6,4 triệu lượt nền ta có phương trình:
$$
\begin{aligned}
&2 x \cdot 60 \%+x \cdot 40 \%=6,4 \\
&\Leftrightarrow x\left(\dfrac{120}{100}+\dfrac{40}{100}\right)=6,4 \\
&\Leftrightarrow x=4(\text { TM })
\end{aligned}
$$
Vậy số người xem MV "Trốn tìm" của Đen Vâu là 4 triệu người.

Hướng dẫn giải:

a) Xét tứ giác $B C E F$ ta có:
$\widehat{B F C}=90^{\circ}(C F$ là đường cao $) ; \widehat{B E C}=90^{\circ}$ ( $B E$ là đường cao $) \Rightarrow \widehat{B F C}=\widehat{B E C}$
$\Rightarrow F$ và $E$ cùng nhìn $B C$ dưới một góc bằng nhau.
$\Rightarrow$ Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.
b) Xét tứ giác $H E C D$ ta có:
$\widehat{A D C}=90^{\circ}(A D$ là đường cao); ( $B E$ là đường cao $) \Rightarrow \widehat{A D C}+\widehat{B E C}=180^{\circ} \Rightarrow$ tứ giác HECD nội tiếp đường tròn
$\Rightarrow \widehat{H E D}=\widehat{H C D}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $H D$ ) (1).
Ta có: Tứ giác $B C E F$ nội tiếp đường tròn (chứng minh câu a) $\Rightarrow \widehat{F E B}=\widehat{F C D}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung . $F B$.). (2).
Từ (1) (2) suy ra $\widehat{F E B}=\widehat{B E D}$. Xét tam giác $F E N$ có $E H$ là phân giác của góc $E$ ta có:
$\dfrac{H F}{E F}=\dfrac{H N}{N E}$ (tinh chất đường phân giác). (3)
Xét $\triangle H N E$ và $\triangle D N C$ ta có:

\(\widehat{HNE}=\widehat{DNC}\)

\(\widehat{HEN}=\widehat{DCN}\)

\(\Rightarrow\Delta HEN\sim\Delta DCN\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{HN}{NE}=\dfrac{DN}{CN}\quad\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\dfrac{HF}{EF}=\dfrac{DN}{CN}\Rightarrow HF.CN=DN.EF\) (đpcm).
c)
Vị $B P$ là tiếp tuyến của $(O) \Rightarrow O B \perp B P$ hay $\triangle O B P$ vuông ở $B$.
$M$ là trung điểm $B C \Rightarrow O M \perp B C$ hay $B M \perp O P$
Tam giác $O B P$ vuông ở $B$ có $B M \perp O P \Rightarrow O B^{2}=O M$. $O P$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Mà $O A=O B(=R) \Rightarrow O M . O P=O A^{2} \Leftrightarrow \dfrac{O M}{O A}=\dfrac{O A}{O P}$
Xét tam giác $O A M$ và tam giác $O P A$ có:
$\widehat{A O M}$ chung
$\dfrac{O M}{O A}=\dfrac{O A}{O P}$
$\Rightarrow \triangle O A M \backsim \triangle O P A(c \cdot g \cdot c) \Rightarrow \widehat{O A M}=\widehat{O P A}$ (5)
Vi $A D / / O P(\perp B C) \Rightarrow \widehat{O P A}=\widehat{D A P}$ (so le trong) (6).
Từ (5) và (6) suy ra $\widehat{O A M}=\widehat{D A P}$ (đpcm).

Hướng dẫn giải:

$\left\{\begin{array}{l}
x-3 y+2 \sqrt{x y}=4(\sqrt{x}-\sqrt{y}) \ (1)\\
(x+1)\left(y+\sqrt{x y}-x^{2}+x\right)=4 \ (2)
\end{array}\right.$
Đk $x \geq 0 ; y \geq 0$
(1) $\Leftrightarrow x+3 \sqrt{x y}-\sqrt{x y}-3 y=4(\sqrt{x}-\sqrt{y})$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x}+3 \sqrt{y})-\sqrt{y}(\sqrt{x}+3 \sqrt{y})=4(\sqrt{x}-\sqrt{y})$
$\Leftrightarrow(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+3 \sqrt{y}-4)=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=y\left({ }^{*}\right) \\ \sqrt{x}+3 \sqrt{y}-4=0\left(^{* *}\right)\end{array}\right.$
Thay $(*)$ vào $(2)$, ta có:
$(x+1)\left(3 x-x^{2}\right)=4$ $\Leftrightarrow x^{3}-2 x^{2}-3 x+4=0$ $\Leftrightarrow(x-1)\left(x^{2}-x-4\right)=0$

$ \begin{array}{l}x=1(t m) \\ x=\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}(t m) \\ x=\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}(k t m)\end{array} $

$\Rightarrow(x ; y) \in\left\{(1 ; 1) ;\left(\dfrac{1+\sqrt{17}}{2} ; \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}\right)\right\}$.

Xét $\left({ }^{* *}\right)$ có: $\sqrt{x}+\sqrt{y}=4-2 \sqrt{y}$ Xét: $(x+1)\left(y+\sqrt{x y}-x^{2}+x\right)$ $=(x+1)\left(-2(y-2 \sqrt{y}+1)-x^{2}+x+2\right)$ $=(x+1)\left(-2(\sqrt{y}-1)^{2}-x^{2}+x+2\right)$

Xét $x \leq 2$, áp dụng BĐT Cô si cho ba số không âm $x+1 ; 2(2-x) ; x+1$ ta có:
$\begin{aligned}
&2(x+1)(2-x)(x+1) \leq\left(\dfrac{x+1+x+1+2(2-x)}{3}\right)^{3} \\
&\Leftrightarrow(x+1)(2-x)(x+1) \leq \dfrac{1}{2} \cdot\left(\dfrac{x+1+x+1+2(2-x)}{3}\right)^{3}=4
\end{aligned}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$
Xét $x>2$ ta có $(x+1)(2-x)(x+1)<0 \Rightarrow(x+1)\left(y+\sqrt{x y}-x^{2}+x\right)<0 \Leftrightarrow 4<0$ (vô lí)
Vậy HPT có nghiệm $(x ; y) \in\left\{(1 ; 1) ;\left(\dfrac{1+\sqrt{17}}{2} ; \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}\right)\right\}$.