Động năng. Thế năng. Sự chuyển hóa giữa động năng và thế năng trong dao động điều hòa SVIP

I. Động năng

Động năng của vật dao động điều hòa được xác định bởi biểu thức:

\(W_đ=\dfrac{1}{2}m\text{v}^2\)

Thay \(\text{v}=-\omega A\sin\left(\omega t+\varphi\right)\), ta được: 

\(W_đ=\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2\left(\omega t+\varphi\right)=\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2\left[1-\cos^2\left(\omega t+\varphi\right)\right]\)

Thay \(x=A\cos\left(\omega t+\varphi\right)\) vào ta được:

\(W_đ=\dfrac{1}{2}m\omega^2\left(A^2-x^2\right)\)

Công thức trên cho biết sự biến thiên của động năng theo li độ $x$.

Hình 1 là đồ thị chỉ sự biến thiên của động năng theo li độ $x$. Đó là một đường parabol có bề lõm hướng xuống và có giá trị cực đại: \(W_{đmax}=\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2\).

Nhận xét: đồ thị cho thấy, khi vật đi từ vị trí cân bằng tới vị trí biên thì động năng của vật đang từ cực đại giảm đến 0. Khi vật đi từ vị trí biên về vị trí cân bằng thì động năng của vật tăng từ O đến giá trị cực đại.

II. Thế năng

Theo định luật bảo toàn năng lượng, nếu bỏ qua ma sát thì năng lượng của vật được bảo toàn, trong quá trình dao động, động năng của vật chuyển dần thành thế năng và ngược lại. Ta có:

\(W_t=\dfrac{1}{2}W_{đmax}-W_{đ\left(x\right)}=\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2-\left[\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2-\dfrac{1}{2}m\omega^2x^2\right]\)

\(W_t=\dfrac{1}{2}m\omega^2x^2\)

Công thức trên cho biết sự biến thiên của thế năng theo li độ.

Đồ thị biến thiên của thế năng theo li độ $x$ cũng là một đường parabol nhưng bề lõm hướng lên như Hình 2 và có giá trị cực đại: \(W_{tmax}=W_{đmax}=\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2\).

Nhận xét: đồ thị cho thấy, khi vật đi từ vị trí biên về vị trí cân bằng thì thế năng của vật đang từ cực đại giảm đến 0. Khi vật đi từ vị trí cân bằng tới vị trí biên thì thế năng của vật tăng từ O đến giá trị cực đại.

III. Cơ năng

Trong dao động điều hòa, có sự chuyển hóa qua lại giữa động năng và thế năng của vật, còn cơ năng, tức tổng động năng và thế năng thì được bảo toàn.

\(W=W_đ+W_t=\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2\)

IV. Cơ năng của con lắc đơn và con lắc lò xo

1. Con lắc lò xo  

Nếu bỏ qua ma sát thì dao động của con lắc lò xo là dao động điều hòa. Thế năng của con lắc lò xo là thế năng đàn hồi của lò xo khi bị biến dạng.

Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng, thế năng của con lắc lò xo khi vật ở li độ $x$ là:

\(W_t=\dfrac{1}{2}kx^2\)

với $k$ là độ cứng của lò xo.

Suy ra tần số góc: \(\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\) và chu kì: \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\)

Cơ năng của con lắc lò xo là:

\(W=W_đ+W_t=\dfrac{1}{2}m\text{v}^2+\dfrac{1}{2}kx^2\)

\(W=\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2\left(\omega t+\varphi\right)+\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2\cos^2\left(\omega t+\varphi\right)=\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2=\) hằng số

2. Con lắc đơn

Vị trí của con lắc đơn được xác định bằng li độ dài \(s\) hay li độ góc \(\alpha\).

Thế năng của con lắc đơn là thế năng trọng trường.

Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng thì thế năng của con lắc ở li độ góc \(\alpha\) là:

\(W_t=mgl\left(1-\cos\alpha\right)\)

Với góc \(\alpha\) nhỏ, \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\approx\dfrac{\alpha}{2}\) (\(\alpha\) tính theo rad), ta có: \(1-\cos\alpha=2\sin^2\dfrac{\alpha}{2}\).

Khi đó: \(W_t=mgl\dfrac{\alpha^2}{2}\), với \(\alpha=\dfrac{s}{l}\)

Suy ra: \(W_t=mgl\dfrac{s^2}{2l^2}=\dfrac{1}{2}m\dfrac{g}{l}s^2\)

Tại vị trí biên, li độ dài $s$ của con lắc cực đại bằng $A$. Khi đó, động năng của con lắc bằng 0, do đó thế năng của con lắc bằng cơ năng.

Tần số góc: \(\omega=\sqrt{\dfrac{g}{l}}\).

Động năng, thế năng của con lắc ở li độ góc \(\alpha\) là động năng của vật $m$:

\(W_đ=\dfrac{1}{2}m\text{v}^2=\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2sin^2\left(\omega t+\varphi\right)\)

\(W_t=\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2\cos^2\left(\omega t+\varphi\right)\)​

Cơ năng: \(W=\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2=\) hằng số

1. Một vật có khối lượng \(m\) dao động điều hòa với tần số góc \(\omega\) và biên độ \(A\). Tại li độ $x$:

Động năng của vật là: \(W_đ=\dfrac{1}{2}m\text{v}^2\)

Thế năng của vật là: \(W_t=\dfrac{1}{2}m\omega^2x^2\)

2. Cơ năng của con lắc là:

\(W=\dfrac{1}{2}m\text{v}^2+\dfrac{1}{2}m\omega^2x^2=\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2=\) hằng số