GTLN, GTNN - Bài toán ứng dụng thực tế SVIP

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi bằng $16cm$ thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích $S$ thì hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Trong các tam giác vuông có tổng của cạnh huyền với một cạnh góc vuông bằng $a (a>0)$, tam giác có diện tích lớn nhất khi cạnh huyền bằng:

Gọi $h$ là chiều cao của hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính $R$, hãy tìm $h$ (theo $R$) để hình trụ có thể tích lớn nhất.

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $12cm.$ Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng $x\left( \text{cm} \right),$ rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Giá trị của $x$ để hộp nhận được có thể tích lớn nhất là

Ông An quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi $50$ m. Mảnh đất còn lại sau khi bán là một hình vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu. Tìm số tiền lớn nhất mà ông An nhận được khi bán đất, biết giá tiền $1$ m$^2$ đất khi bán là $1\,500\,000$ đồng.

Từ một tấm tôn hình chữ nhật người ta cuộn thành một chiếc thùng hình trụ không đáy (như hình vẽ). Biết tấm tôn có chu vi bằng $120cm.$Để chiếc thùng có thể tích lớn nhất thì chiều dài, chiều rộng của tấm tôn lần lượt là

Tính diện tích lớn nhất $S_{\max}$ của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn có bán kính 10cm, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của đường tròn.

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $961m^{2},$ người ta muốn mở rộng thêm 4 phần đất sao cho tạo thành hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn. Biết tâm hình tròn trùng với tâm của hình chữ nhật (xem hình minh họa). Tính diện tích nhỏ nhất $S_{\min}$ của 4 phần đất được mở rộng.

Bạn Nam làm một cái máng thoát nước, mặt cắt hình thang cân có độ dài hai cạnh bên và cạnh đáy đều bằng $20\ \text{cm}$, thành máng nghiêng với mặt đất một góc $\varphi$ $(0{^\circ} < \varphi < 90{^\circ})$ (tham khảo hình vẽ bên). Bạn Nam phải nghiêng thành máng một góc trong khoảng nào sau đây để lượng nước mưa thoát được là nhiều nhất?

Mỗi trang giấy của cuốn sách giáo khoa cần diện tích $384cm^{2}.$ Lề trên và lề dưới là $3cm,$ lề trái và lề phải là $2cm.$ Hãy cho biết kích thước tối ưu của trang giấy?

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng $x + y$ để diện tích hình thang $\text{EFGH}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí $A$ cách bờ biển một khoảng $AB = 5km$. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí $C$ cách $B$ một khoảng là $7km.$ Người canh hải đăng có thể chèo đò từ $A$ đến vị trí $M$ trên bờ biển với vận tốc $4km/h$ rồi đi bộ đến $C$ với vận tốc $6km/h.$ Vị trí của điểm $M$ cách $B$ một khoảng gần nhất với giá trị nào sau đây để người đó đến kho nhanh nhất?

Một sợi dây kim loại dài $60cm$ được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh $a$$$ đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính $r$ Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số $\dfrac{a}{r}$ bằng

Chủ của một nhà hàng muốn làm tường rào bao quanh $600m^{2}$ đất để làm bãi đỗ xe. Ba cạnh của khu đất sẽ được rào bằng một loại thép với chi phí $14000$ đồng một mét, riêng mặt thứ tư do tiếp giáp với mặt bên của nhà hàng nên được xây bằng tường gạch xi măng với chi phí là $28000$ đồng mỗi mét. Biết rằng cổng vào của khu đỗ xe là $5m.$ Chu vi của khu đất sao cho chi phí nguyên liệu bỏ ra là ít nhất là bao nhiêu mét, biết rằng khu đất rào được có dạng hình chữ nhật?

Cho một từ giấy hình chữ nhật với chiều dài $12cm$ và chiều rộng $8cm.$ Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm dưới như hình vẽ. Gọi độ dài nếp gấp là $y$ thì giá trị nhỏ nhất của $y$ là bao nhiêu?

Một chất điểm chuyển động theo qui luật $s(t)=9t^2-t^3$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây từ lúc chất điểm bắt đầu chuyển động và $s$ (tính bằng mét) là quãng đường đi được sau $t$ giây. Tính thời điểm $t$ (giây) tại đó vận tốc $v(m/s)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất?