Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số SVIP

Hướng dẫn giải:

$a)$ $y=-x^3+3x+1$.

1) Tập xác định của hàm số: $\mathbb R$.

2) Sự biến thiên:

+) Ta có: $y'=-3x^2+3$. Vậy $y'=0$ khi $x=-1$ hoặc $x=1$.

+) Trên khoảng $(-1;1)$, $y'>0$ nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$, $y'<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=-1$. Hàm số đạt cực đại tại $x=1$, giá trị cực đại $y_{CĐ} = 3$.

+) Giới hạn tại vô cực: $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} y = +\infty$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} y = -\infty$

+) Bảng biến thiên:

 3) Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0;1)$.

+) Ta thấy hàm số cắt trục tung tại $3$ điểm phân biệt.

+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $(0;1)$.

$b)$ $y=x^3 - 3x^2 + 4.$

1) Tập xác định của hàm số: $\mathbb R$.

2) Sự biến thiên:

+) Giới hạn tại vô cực: $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} y = +\infty$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} y = -\infty$

$y' = 3x^2 - 6x;$

$y'=0 \Leftrightarrow 3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

3) Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0;4)$.

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $( -1 ; 0 )$ và $(2;0)$.

Hướng dẫn giải:

$a) y= \dfrac{x+1}{x-2};$

1. Tập xác định của hàm số $\mathbb R$ \ $\{2\}$.

2. Sự biến thiên:

+) Ta có: $y' = -\dfrac{3}{(x-2)^2} < 0$ với mọi $x \neq 2$.

+) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((- \infty; 2)\) và \((2; +\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận:

\[\displaystyle \lim_{x \to 2^-} y = \displaystyle \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x+1}{x-2} = -\infty\]

\[\displaystyle \lim_{x \to 2^+} y =\displaystyle \lim_{x \to 2^+} \dfrac{x+1}{x-2} = +\infty\]

\[ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} y = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x+1}{x-2} = 1; \]

\[\displaystyle \lim_{x \to -\infty} y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x+1}{x-2} = 1.\]

+) Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\), tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1\).

3. Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left(0; -{1}\right)\).

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \((-1; 0)\).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(2; 1)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

$b) y= \dfrac{2x+1}{x-1}.$

1. Tập xác định của hàm số $\mathbb R$ \ $\{1\}$.

2. Sự biến thiên:

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\[ \displaystyle \lim_{x \to -1^-} y = -\infty, \displaystyle \lim_{x \to -1^+} y = +\infty.\]

Vậy \[ x = 1 \] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\[ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} y = 2, \quad \displaystyle \lim_{x \to -\infty} y = 2.\]

Do đó, đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\[y' = \dfrac{-3}{(x-1)^2} < 0 \] với mọi \[x \neq 1.\]

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((- \infty; 1)\) và \((1; +\infty)\).

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0; -1)\).

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(( -\dfrac{1}{2}; 0)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((0; -1)\), \((-\dfrac{1}{2}; 0)\), \((-2; 1)\), \((2; 5)\), $\Big( \dfrac{5}{2};4 \Big)$ và $(4;3)$.

Hướng dẫn giải:

1. Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.

2. Sự biến thiên: Viết $y = x + 1 + \dfrac{1}{x-2}$.

Ta có: $y' = 1 - \dfrac{1}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{(x-2)^2}$.

Vậy $y' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{x^2 - 4x + 3}{(x-2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = 3$.

Trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$, $y' > 0$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

Trên các khoảng $(1; 2)$ và $(2; 3)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ với $y_{\text{CĐ}} = 1$; hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$ với $y_{\text{CT}} = 5$.

$\lim\limits_{x \to -\infty} y = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - x - 1}{x - 2} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x - 1 - \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{2}{x}} = +\infty$.

Tiệm cận: $\lim\limits_{x \to 2} y = \lim\limits_{x \to 2} \left( x + 1 + \dfrac{1}{x-2} \right) = +\infty$.

$\lim\limits_{x \to 2} [y - (x + 1)] = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{1}{x-2} = +\infty$.

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 2$, tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x + 1$.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\Big( 0;\dfrac{1}{2} \Big).$

+) Ta có $y=0 \Leftrightarrow \dfrac{x^2-x-1}{x-2}$

$\Leftrightarrow x= \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ hoặc $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $\Big(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} ; 0  \Big)$ và $\Big(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} ; 0  \Big)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(2;3)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.