Phần tự luận (4 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6x+1$.

Gọi $M\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}} \right)$ là tiếp điểm.

Ta có ${{x}_{0}}=1$ do đó ${{y}_{0}}={{1}^{3}}-{{3.1}^{2}}+1-1=-2$ ;

${y}'(1)={{3.1}^{2}}-6.1+1=-2$.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng $1$ là $y=y'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+\left( -2 \right) \Rightarrow y=-2x$

Hướng dẫn giải:

Ta có ${y}'=\tan x+x\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)$

$\Rightarrow y''=1+{{\tan }^{2}}x+1+{{\tan }^{2}}x+2x\tan x\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)=2\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)\left( 1+x\tan x \right)$

$\Rightarrow {{x}^{2}}y''=2\left( {{x}^{2}}+{{x}^{2}}{{\tan }^{2}}x \right)\left( 1+x\tan x \right)=2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( 1+y \right)$ ( đpcm ).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $\left\{ \begin{aligned} & AB \perp AD \\ & AB \perp SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow AB \perp \left( SAD \right)\Rightarrow \left( SAB \right) \perp \left( SAD \right)$.

b) Ta có $\left\{ \begin{aligned} & BC \perp AB \\ & BC \perp SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow BC \perp \left( SAB \right)$.

Suy ra góc giữa $SC$ và $\left( SAB \right)$ là góc $\widehat{CSB}$.

Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $SB=\sqrt{A{{B}^{2}}+S{{A}^{2}}}=a\sqrt{3}$. $\tan \widehat{CSB}=\dfrac{CB}{SB}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{CSB}=30{}^\circ $.

Vậy $\widehat{\left( SC,\left( SAB \right) \right)}={{30}^{\circ }}$

c) Gọi $M$là trung điểm $AD$.

Suy ra $ABCM$ là hình vuông và $CM=AB=a$.

Suy ra $CM=\dfrac{1}{2}AD$ nên $\Delta ACD$ vuông tại $C$ hay $AC \perp CD$.

Ta có $\left\{ \begin{aligned} & CD \perp AC \\ & CD \perp SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow CD \perp \left( SAC \right)$.

Kẻ $AK \perp SC\,\text{ }\left( K\in SC \right)$

$\Rightarrow AK \perp \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AK$.

$AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}$.

Do đó $d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AK=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=a$. $\left( * \right)$

Trong $\left( ABCD \right)$, gọi $\left\{ E \right\}=AB\cap CD$.

Ta có $\left\{ \begin{aligned} & BC\text{//}AD \\ & BC=\dfrac{1}{2}AD \\ \end{aligned} \right.$ nên $BC$ là đường trung bình của $\Delta EAD$.

$\Rightarrow SB$ là đường trung tuyến của $\Delta SAE$. $\left( 1 \right)$

Mặt khác, tam giác $\Delta SAE$ vuông tại $A$ có chiều cao $AH$ cho ta $SH.SB=S{{A}^{2}}\text{ }\Rightarrow \text{ }\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{2}{3}$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta SAE$.

Trong $\left( SAE \right)$, gọi $\left\{ L \right\}=AH\cap SE\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & AH\cap \left( SCD \right)=\left\{ L \right\} \\ & \dfrac{LH}{LA}=\dfrac{1}{3} \\ \end{aligned} \right.$.

$\Rightarrow \dfrac{d\left( H,\left( SCD \right) \right)}{d\left( A,\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{LH}{LA}=\dfrac{1}{3}\text{ }\left( ** \right)$.

Từ $\left( * \right)$ và $\left( ** \right)$ suy ra $d\left( H,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a}{3}$.