Phần tự luận (8 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left( 2-\dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} \right).\left( 2+\dfrac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \right)$

$=\left( 2-\dfrac{\sqrt{3}\left( \sqrt{3}+1 \right)}{\sqrt{3}+1} \right).\left( 2+\dfrac{\sqrt{3}\left( \sqrt{3}-1 \right)}{\sqrt{3}-1} \right)$

$=\left( 2-\sqrt{3} \right).\left( 2+\sqrt{3} \right)=4-3=1$

Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) Với $x>0;$ $x\ne 4$:

$A=\left( \dfrac{1}{x-2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2} \right):\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-4\sqrt{x}+4}$

$=\left( \dfrac{1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2} \right):\dfrac{\sqrt{x}+1}{{{\left( \sqrt{x}-2 \right)}^{2}}}$

$=\dfrac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)}.\dfrac{{{\left( \sqrt{x}-2 \right)}^{2}}}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}$.

Vậy với $x>0;$ $x\ne 4$, $A=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}$.

Hướng dẫn giải:

a) Thay $y=-8$ vào phương trình parabol: $y=-2{{x}^{2}}$.

Ta có: $-2{{x}^{2}}=-8\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2$.

Vậy tọa độ tất cả các điểm thỏa mãn đề bài là $\left( 2;-8 \right)$ và $\left( -2;-8 \right)$.

b) Phương trình: ${{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+2m=0$ (1)

Phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn $x$ có:

   $\Delta '={{\left[ -\left( m+1 \right) \right]}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+2m \right)={{m}^{2}}+2m+1-{{m}^{2}}-2m=1$>0.

Phương trình  có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};$ ${{x}_{2}}$ với mọi $m$, mà ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ nên:

${{x}_{1}}=m+1-1=m$;

${{x}_{2}}=m+1+1=m+2$.

${{x}_{1}};$ ${{x}_{2}}$ thỏa mãn: $\left| {{x}_{1}} \right|=3\left| {{x}_{2}} \right|$$\Rightarrow \left| m \right|=3\left| m+2 \right|$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m=3\left( m+2 \right) \\ & m=-3\left( m+2 \right) \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 3m+6=m \\ & m=-3m-6 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m=-3\left( \, \text{tm} \right) \\ & m=\dfrac{-3}{2}\left( \, \text{tm} \right) \\ \end{aligned} \right.$

Vây tất cả các giá trị của $m$ thỏa mãn đề bài là $m=-3$ và $m=-\dfrac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: $x;$ $y\ne 0$

Đặt $\dfrac{x}{y}=t$ khi đó hệ trở thành $\left\{ \begin{aligned} & t+\dfrac{2}{t}=3 \, \left( 1 \right) \\ & 2{{x}^{2}}-3y=-1 \, \left( 2 \right) \\ \end{aligned} \right.$

Giải $\left( 1 \right)$ ta được:

${{t}^{2}}-3t+2=0\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( t-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t=1 \\ & t=2 \\ \end{aligned} \right.$

+ Với $t=1\Rightarrow \dfrac{x}{y}=1\Leftrightarrow x=y$ thế vào $\left( 2 \right)$ ta được:

$2{{x}^{2}}-3x+1=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( 2x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=1 \\ & x=\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right.$  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy suy ra $y=1;$ $y=\dfrac{1}{2}$.

Do đó hệ phương trình có nghiệm là $\left( x;y \right)= \left( 1;1 \right);$ $\left( x;y \right)=\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)$.

+ Với $t=2\Rightarrow \dfrac{x}{y}=2\Leftrightarrow x=2y$ thế vào $\left( 2 \right)$ ta được:

$2{{\left( 2y \right)}^{2}}-3y+1=0\Leftrightarrow 8{{y}^{2}}-3y+1=0$.

Do $\Delta =-23<0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left( x;y \right)= \left( 1;1 \right);$ $\left( x;y \right)=\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)$.

Hướng dẫn giải:

1) Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là $6.4=24$ (m$^{2}$).

Có $ABCD$ là hình chữ nhật $\Rightarrow AD=BC=4$ (m).

Bán kính đường tròn đường kính $AD$ là $\dfrac{AD}{2}=\dfrac{4}{2}=2$ (m).

Diện tích nửa đường tròn đường kính $AD$ là $\dfrac{\pi {{.2}^{2}}}{2}=2\pi$ (m$^{2}$).

Bán kính đường tròn đường kính $BC$ là $\dfrac{BC}{2}=\dfrac{4}{2}=2$ (m).

Diện tích nửa đường tròn đường kính $BC$ là $\dfrac{\pi {{.2}^{2}}}{2}=2\pi$ (m$^{2}$).

Diện tích phần đất trồng cỏ là $24-\left( 2\pi +2\pi  \right)\approx 11,4$ (m$^{2}$).

2) 

Do $AB,$ $AC$ là các tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ (gt)

$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & AB\bot OB \\ & AC\bot OC \\ \end{aligned} \right.$  (Tính chất tiếp tuyến)

Từ đó suy ra $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^{\circ} $.

Xét tứ giác $ABOC$ có: $\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$ và hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn.

Ta có $AB,$ $AC$ là các tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ (gt)

Suy ra $AB=AC$ (Tính chất tiếp tuyến) nên $A$ thuộc đường trung trực của $BC$.

Lại có $OB=OC=R$ nên suy ra $O$ cũng thuộc đường trung trực của $BC$.

Từ đó suy ra $OA$ là đường trung trực của $BC$ $\Rightarrow OA\bot BC$ (1)

Xét $\left( O \right)$ có $BD$ là đường kính (gt) và $C\in \left( O \right)$.

Suy ra $\widehat{DCB}=90^{\circ}$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow DC\bot BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OA$ // $CD$ (Từ vuông góc đến song song)

$\Rightarrow \widehat{BDC}=\widehat{AOC}$.

b) Kẻ $CD\cap AB$ tại $H$ $\Rightarrow \widehat{HCB}=\widehat{BCD}=90^{\circ}$.

Ta có $\widehat{ACH}+\widehat{ACB}=90^{\circ} $ và $\widehat{AHC}+\widehat{ABC}=90^{\circ}$

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do tam giác $ABC$ cân)

Từ đó suy ra $\widehat{ACH}=\widehat{AHC}$ $\Rightarrow \Delta ACH$ cân $AH=AC$.

Mà $AB=AC$ nên suy ra $AB=AH=AC$ (3).

Vì $HB$ // $CK$ (Vì cùng vuông góc $BD$)

$\dfrac{CI}{AH}=\dfrac{DI}{DA}=\dfrac{IK}{AB}$ (Định lí Talet) (4).

Từ (3) và (4) suy ra $CI=IK$.

Từ đó suy ra $I$ là trung điểm của $CK$.

Hướng dẫn giải:

1. Điều kiện: $x\ge \dfrac{1}{2}$.

Đặt $\left\{ \begin{aligned} & a=\sqrt{2x-1} \\ & b=\sqrt{x+1} \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & 2x-1={{a}^{2}} \\ & x+1={{b}^{2}} \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow 4x+1={{a}^{2}}+2{{b}^{2}}$.

Khi đó, phương trình (1) trở thành ${{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-3ab+2a-2b=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+3{{b}^{2}}-3ab+2a-2b=0$

$\Leftrightarrow \left( a-b \right)\left( a+b \right)-3b\left( a-b \right)+2\left( a-b \right)=0\Leftrightarrow \left( a-b \right)\left( a+b-3b+2 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & a-b=0 \\ & a-2b+2=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & a=b \\ & a=2b-2 \\ \end{aligned} \right. $

+ Với $a=b$, ta có $\sqrt{2x-1}=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow 2x-1=x+1\Leftrightarrow x=2 \, \left( \text{tm} \right)$.

+ Với $a=2b-2$, ta có $ \sqrt{2x-1}=2\sqrt{x+1}-2\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}+2=2\sqrt{x+1}\Leftrightarrow 2x-1+4\sqrt{2x-1}+4=4\left( x+1 \right)$

$\Leftrightarrow 2x+1=4\sqrt{2x-1}\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}+4x+1=32x-16\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-28x+17=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{7+4\sqrt{2}}{2} \, \left( \text{tm} \right) \\ & x=\dfrac{7-4\sqrt{2}}{2} \, \left( \text{ktm} \right) \\ \end{aligned} \right. $.

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\left\{ 2;\dfrac{7+4\sqrt{2}}{2} \right\}$.

2. Ta có: $a+b+c=3\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & a+b=3-c \\ & b+c=3-a \\ & a+c=3-b \\ \end{aligned} \right.$.

Vì $a,$ $b,$ $c$ dương nên $a+b\ge 2\sqrt{ab}\Rightarrow 3-c\ge 2\sqrt{ab}\Rightarrow \sqrt{ab}\le \dfrac{3-c}{2}$.

Tương tự, ta có: $\sqrt{bc}\le \dfrac{3-a}{2}$; $\sqrt{ac}\le \dfrac{3-b}{2}$.

Suy ra $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le \dfrac{9-\left( a+b+c \right)}{2}=\dfrac{9-3}{2}=3$.

Ta có $\dfrac{b\sqrt{a}}{1+b}\le \dfrac{b\sqrt{a}}{2\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{2};$

$\dfrac{c\sqrt{b}}{1+c}\le \dfrac{c\sqrt{b}}{2\sqrt{c}}=\dfrac{\sqrt{bc}}{2};$

$\dfrac{a\sqrt{c}}{1+a}\le \dfrac{a\sqrt{c}}{2\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{ac}}{2}$

Suy ra  $\dfrac{b\sqrt{a}}{1+b}+\dfrac{c\sqrt{b}}{1+c}+\dfrac{a\sqrt{c}}{1+a}\le \dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le \dfrac{3}{2}$.

Vậy $P\ge \dfrac{2021}{3}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{4033}{6}$.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$.