Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên SVIP

a.Thứ tự của các số tự nhiên

Ta đã biết tập hợp tất cả các số tự nhiên được kí hiệu là $\mathbb{N}$, nghĩa là $\mathbb{N} = \{0; \, 1; \, 2; \, 3; ... \}$. Mỗi phần tử $0;\, 1;\, 2;\, 3; ... $ của $\mathbb{N}$ được biểu diễn bởi một điểm trên tia số như hình dưới đây. 

 Trên tia số, điểm biểu diễn số tự nhiên $a$ được gọi là điểm $a$. Chẳng hạn, điểm $3$, điểm $6$, ... 

+ Trong hai số tự nhiên khác nhau, luôn có một số nhỏ hơn số kia. Nếu số $a$ nhỏ hơn số $b$ thì trên tia số (nằm ngang) điểm $a$ nằm trước điểm $b$. Khi đó ta viết $a<b$ hoặc $b>a$.

+ Mỗi số tự nhiên có đúng một số liền sau, chẳng hạn $9$ là số liền sau của $8$ (còn $8$ là số liền trước của $9$). Hai số $8$ và $9$ là hai số tự nhiên liên tiếp. 

+ Nếu $a<b$ và $b<c$ thì $a<c$ ( tính chất bắc cầu). Chẳng hạn, $a<5$ và $5<7$ suy ra $a<7$.

Chú ý: Số $0$ không có số liền trước và là số tự nhiên nhỏ nhất. 

Ví dụ 1: Cho $A=\{x \in \mathbb{N} | 12<x<20\}$. Viết tập hợp $A$ bằng cách liệt kê các phần tử.

Lời giải 

Tập hợp $A$ là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn $12$ và nhỏ hơn $20$, gồm các số $13; 14; 15; 16; 17; 18; 19$. Vậy $A=\{ 13;\, 14;\, 15;\, 16;\, 17;\, 18;\, 19\}$.

Ví dụ 2: Theo dõi doanh thu trong ba tháng liên tục, một công ty nhận thấy:

Doanh thu tháng thứ nhất ít hơn doanh thu tháng thứ hai.

Doanh thu tháng thứ hai ít hơn doanh thu tháng thứ ba.

Em hãy so sánh doanh thu tháng thứ nhất và tháng thứ ba của công ty đó.

Lời giải 

Gọi doanh thu ba tháng liên tục của công ty đó lần lượt là $x$, $y$, $z$.

Theo bài ra ta có: $x<y$, $y<z$.

Áp dụng tính chất bắc cầu, ta suy ra được: $x<z$.

Vậy doanh thu tháng thứ nhất của công ty đó ít hơn doanh thu tháng thứ ba.

b.So sánh các số tự nhiên

+Trong hai số tự nhiên, số nào có nhiều chữ số hơn thì số đó lớn hơn. Ví dụ: $2\, 345 > 123$.

+Với hai số tự nhiên có cùng số chữ số:

1. Lần lượt so sánh từng cặp chữ số cùng một hàng ( từ trái qua phải) tới khi xuất hiện cặp chữ số đầu tiên khác nhau. 

2. Ở cặp chữ số đó, chữ số nào lớn hơn thì số tự nhiên chứa chữ số đó lớn hơn.                            Ví dụ: $2\, 024 > 2\, 022$.

Ví dụ 3: So sánh: $37\, 605$ và $37\, 615$.

Lời giải

Do hai số $37\, 605$ và $37\, 615$ có cùng số chữ nên ta lần lượt so sánh từng cặp chữ số trên cùng một hàng kể từ trái sang phải cho đến khi xuất hiện cặp chữ số đầu tiên khác nhau là $0<1$.

Vậy $37\, 605<37\, 615$.

c. Các ký hiệu "$\le$ " và "$\ge$"

+ Ta còn dùng ký hiệu $a \le b$ ( đọc là $a$ nhỏ hơn hoặc bằng $b$ ) để nói "$a<b$ hoặc $a=b$".             

Ví dụ: $\{ x \in \mathbb{N} | x \le 4\} = \{ 0;\, 1;\, 2;\, 3;\, 4\}$.

+ Tương tự, kí hiệu $a \ge b$ (đọc là $a$ lớn hơn hoặc bằng $b$) có nghĩa là "$a>b$ hoặc $a=b$".               

Ví dụ: $\{ x \in \mathbb{N} | 9 \ge x \ge 5\} = \{ 5;\, 6;\, 7;\, 8;\, 9\}$.

+ Tính chất bắc cầu còn có thể viết: nếu $a \le b$ và $b \le c$ thì $a \le c$. 

Ví dụ 4: Cho tập hợp $C=\{x \in \mathbb{N}^* | 123 \le x \le 128\}$. Viết tập hợp $C$ bằng cách liệt kê các phần tử.

Lời giải

Tập hợp $C$ là tập hợp các số tự nhiên khác $0$ lớn hơn hoặc bằng $123$ và nhỏ hơn hoặc bằng $128$, gồm các số: $123; 124; 125; 126; 127; 128$. 

Vậy $C=\{123;\, 124;\, 125;\, 126;\, 127;\, 128\}$.