Một đoàn khách du lịch gồm \(n\) người được xếp vào \(r\) khách sạn \(S_1,S_2,...,S_r\). Yêu cầu đặt ra là đưa \(n_i\) khách ở tại khách sạn \(S_i\left(i=1,2,...,r\right)\), trong đó \(n_1,n_2,...,n_r\) là các số tự nhiên đã cho thỏa mãn điều kiện \(n_1+n_2+...+n_r=n\). Chứng minh rằng số cách phân phối khách thỏa mãn yêu cầu trên là:

 \(P=\dfrac{n!}{n_1!n_2!...n_r!}\)

 Nhờ công thức trên, hãy suy ra rằng với mỗi số nguyên dương \(m\), ta có:

 \(\left(4m\right)!\) chia hết cho \(2^{3m}.3^m\).

 Trong không gian cho 2006 điểm mà trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Người ta nối tất cả các điểm bởi đoạn thẳng. Số nguyên dương \(m\) được gọi là "số tốt" nếu ta có thể gán cho mỗi đoạn thẳng trong các đoạn thẳng đã nối bởi một số tự nhiên không vượt quá \(m\) sao cho mỗi tam giác tạo bởi ba điểm bất kì trong số các điểm đó đều có hai cạnh được gán bởi hai số bằng nhau và cạnh còn lại được gán bởi số lớn hơn hai số đó. Tìm số tốt có giá trị nhỏ nhất.

 Cho hàm số \(f:\left[a;b\right]\rightarrow\left[a;b\right]\) liên tục trên \(\left[a,b\right]\) với \(a< b\) thỏa mãn \(\left|f\left(\alpha\right)-f\left(\beta\right)\right|< \left|\alpha-\beta\right|\), \(\forall\alpha,\beta\in\left[a;b\right]\) phân biệt. Chứng minh rằng \(\exists!\gamma\in\left[a;b\right]:f\left(\gamma\right)=\gamma\)

 (Ở đây kí hiệu \(\exists!\) nghĩa là tồn tại duy nhất)

 Xét dãy số \(\left\{x_n\right\}^{+\infty}_{n=1}\) như sau: \(x_1=1\) và với mọi \(n=1,2,...\) thì 

\(x_{n+1}=\dfrac{\left(2+\cos\alpha\right)x_n+\cos^2\alpha}{\left(2-2\cos2\alpha\right)x_n+2-2\cos2\alpha}\),

trong đó \(\alpha\) là một tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(\alpha\) để dãy số \(\left\{y_n\right\}\), với \(y_n=\sum\limits^n_{k=1}\dfrac{1}{2x_k+1},\forall n=1,2,...\) có giới hạn hữu hạn khi \(n\rightarrow+\infty\). Hãy tìm giới hạn của dãy số \(\left\{y_n\right\}\) trong các trường hợp đó.

1) Một con ếch ở đỉnh A của lục giác đều ABCDEF. Mỗi lần ếch nhảy sang 1 trong 2 đỉnh kề với đỉnh mà nó đứng trước đó.

 a) Hỏi có bao nhiêu cách để sau \(n\) lần nhảy ếch có mặt tại C?

 b) Cũng câu hỏi a) với điều kiện ếch không được nhảy qua đỉnh D.

2) Cho tam giác ABC. Điểm \(P\notin\left(ABC\right)\). Trung trực của PA, PB, PC cắt nhau tạo thành tam giác XYZ. \(\left(XYZ\right)\cap\left(ABC\right)=\left\{E',F'\right\}\). Gọi D, E, F, G lần lượt là hình chiếu của P lên BC, CA, AB, E'F'. Chứng minh rằng G là tâm của \(\left(DEF\right)\).

3) Tìm tất cả các hàm \(f:ℝ\rightarrowℝ\) toàn ánh thỏa mãn \(f\left(f\left(x\right)+xy\right)=2f\left(x\right)+xf\left(y-1\right),\forall x,y\inℝ\)

4) Cho các số nguyên tố \(p_1,p_2,...,p_n\) phân biệt và các số tự nhiên \(n_1,n_2,...,n_k>1\) bất kì. CMR số cặp số \(\left(x,y\right)\) không tính thứ tự, nguyên tố cùng nhau và \(x^3+y^3=p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k}\) thì không vượt quá \(2^{k+1}\)

Câu 23. Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $B$. $S A \perp(A B C)$, $A B=a$; $S A=a \sqrt{3}$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $S B$.

a) Chứng minh $B C \perp(S A B)$;

b) Chứng minh: $A H \perp S C$;

c)Chứng minh $(A H C) \perp(S B C)$;

d) Tính góc giữa đường thẳng $S B$ và mặt phẳng $(A B C)$;

e)Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(S B C)$.

Bài 1: Cho khai triển P(x)=\(\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^n\). tìm số hạng không chứa x trong khai triển, biết số hạng thứ ba trong khai triển bằng 5.

Bài 2: Khai triển và rút gọn biểu thức (1+x)⁹+(1+x)¹⁰+...+(1+x)¹⁴ ta được đa thức Q(x)=a₀+a₁\(x\)+...+a₁₄\(x^{14}\)

Giải chi tiết hộ mình với ạ. Mình đang cần để ôn tập thi cuối kì. Cảm ơn nhiều ạ.