a: Xét tứ giác AHKC có \(\widehat{AHC}=\widehat{AKC}=90^0\)

nên AHKC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\widehat{CBM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

Do đó: \(\widehat{CAM}=\widehat{CBM}\)

mà \(\widehat{CAM}=\widehat{CHK}\)(ACKH nội tiếp)

nên \(\widehat{CHK}=\widehat{CBM}\)

c: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét ΔAHN vuông tại H và ΔAMB vuông tại M có

\(\widehat{HAN}\) chung

Do đó: ΔANH~ΔABM

=>\(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AH}{AM}\)

=>\(AN\cdot AM=AH\cdot AB\)

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(AH\cdot AB=AC^2\)

=>\(AM\cdot AN=AC^2\)

\(P=AM\cdot AN+BC^2=AC^2+BC^2=AB^2=4R^2\)

a: Xét tứ giác MHNC có \(\widehat{HMC}+\widehat{HNC}=90^0+90^0=180^0\)

nên MHNC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{DBC}\) là góc nội tiếp chắn cung DC

\(\widehat{DAC}\) là góc nội tiếp chắn cung DC

Do đó: \(\widehat{DBC}=\widehat{DAC}\)

mà \(\widehat{DAC}=\widehat{NBC}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

nên \(\widehat{DBC}=\widehat{NBC}\)

1: Gọi O là trung điểm của MC

=>O là tâm đường tròn đường kính MC

Xét (O) có

ΔMCD nội tiếp

MC là đường kính

Do đó: ΔMCD vuông tại D

Xét tứ giác ABCD có \(\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90^0\)

nên ABCD là tứ giác nội tiếp

2: Xét (O) có

\(\widehat{MED}\) là góc nội tiếp chắn cungMD

\(\widehat{MCD}\) là góc nội tiếp chắn cung MD

Do đó: \(\widehat{MED}=\widehat{MCD}\)

mà \(\widehat{MCD}=\widehat{ABD}\)(ABCD nội tiếp)

nên \(\widehat{ABD}=\widehat{MED}\)

1: Xét tứ giác CEHD có \(\widehat{CEH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEHD là tứ giác nội tiếp

2: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{DEH}=\widehat{DCH}\)(CEHD nội tiếp)

\(\widehat{FEH}=\widehat{FAH}\)(AEHF nội tiếp)

mà \(\widehat{DCH}=\widehat{FAH}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

nên \(\widehat{DEH}=\widehat{FEH}\)

a: ΔOBA cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI\(\perp\)AB tại I

Ta có: \(\widehat{OIM}=\widehat{OCM}=\widehat{ODM}=90^0\)

=>O,I,C,M,D cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b: Xét (O) có

MC,MD là các tiếp tuyến

Do đó: MC=MD

=>M nằm trên đường trung trực của CD(1)

Ta có: OC=OD

=>O nằm trên đường trung trực của CD(2)

Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của CD

=>OM\(\perp\)CD tại H và H là trung điểm của CD

Xét ΔEOM có

MI,EH là các đường cao

MI cắt EH tại S

Do đó: S là trực tâm của ΔEOM

=>OS\(\perp\)EM

bài 1:

a: \(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=5\\2x+y=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=5\\4x+2y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x=1\\2x+y=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=2-2x=2-2\cdot\left(-1\right)=4\end{matrix}\right.\)

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=5\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=5^2-2\cdot2=25-4=21\)

a: \(x^2-x-6=0\)

=>(x-3)(x+2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-2\end{matrix}\right.\)

b: \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5^2-2\cdot3=25-6=19\)

=>\(x_2^2=19-x_1^2\)

=>\(2x_2^2=38-2x_1^2\)

\(P=x_1^2-2x_1+\left(2x_2^2+9x_1-40\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+\left(38-2x_1^2+9x_1-40\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+\left(-2x_1^2+9x_1-2\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+\left(2x_1^2-9x_1+2\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+\left(2x_1^2-10x_1+6+x_1-4\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+\left(x_1-4\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+x_1^2-8x_1+16\)

\(=2x_1^2-10x_1+16\)

\(=2x_1^2-10x_1+6+10=0+10=10\)