a: Xét ΔCDM vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có

\(\widehat{DCM}\) chung

Do đó: ΔCDM~ΔCAB

b: Xét ΔDCM vuông tại D và ΔDEB vuông tại D có

\(\widehat{DCM}=\widehat{DEB}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

Do đó: ΔDCM~ΔDEB

=>\(\dfrac{DC}{DE}=\dfrac{DM}{DB}\)

=>\(DC\cdot DB=DM\cdot DE\)

b) Do H và K đối xứng nhau qua I (gt)

⇒ I là trung điểm của HK

Mà I là trung điểm của BC (gt)

⇒ BHCK là hình bình hành

⇒ BH // CK và CH // BK

Mà BH ⊥ AC (gt)

⇒ CK ⊥ AC

⇒ ∠ACK = ∠AFH = 90⁰

Gọi O là trung điểm của AK

∆ACK vuông tại C

⇒ OA = OC = OK = AK : 2 (1)

∆ABK vuông tại B

⇒ OA = OB = OK = AK : 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ OA = OB = OC = OK

⇒ ∠ABC = ∠ABO + ∠OBC

= 90⁰ - ∠AOB : 2 + 90⁰ - ∠BOC : 2

= 180⁰ - (∠AOB + ∠BOC) : 2

= [360⁰ - (∠AOB + ∠BOC)] : 2

= ∠AOC : 2

⇒ ∠ABC = (∠OCK + ∠OKC) : 2

= 2 ∠OKC : 2

= ∠OKC

= ∠AKC

⇒ ∠AKC = ∠ABD = 90⁰ - ∠BAD

= 90⁰ - ∠FAH

= ∠AHF

Xét ∆AKC và ∆AHF có:

∠ACK = ∠AFH = 90⁰ (cmt)

∠AKC = ∠AHF (cmt)

⇒ ∆AKC ∽ ∆AHF (g-g)

b) Ta có:

∠BEI + ∠EBC = 90⁰

∠ECI + ∠EBC = 90⁰

⇒ ∠BEI = ∠ECI

Xét hai tam giác vuông: ∆BEI và ∆ECI có:

∠BEI = ∠ECI (cmt)

⇒ ∆BEI ∽ ∆ECI (g-g)

⇒ IE/IC = IB/IE

⇒ IE² = IB.IC

7c)

Xét hai tam giác vuông: ∆AND và ∆ADC có:

∠A chung

⇒ ∆AND ∽ ∆ADC (g-g)

⇒ AD/AC = AN/AD

⇒ AD² = AN.AC

Xét hai tam giác vuông: ∆ADM và ∆ABD có:

∠A chung

⇒ ∆ADM ∽ ∆ABD (g-g)

⇒ AD/AB = AM/AD

⇒ AD² = AM.AB

Mà AD² = AN.AC (cmt)

⇒ AM.AB = AN.AC

⇒ AM/AC = AN/AB

Xét ∆AMN và ∆ACB có:

AM/AC = AN/AB (cmt)

∠A chung

⇒ ∆AMN ∽ ∆ACB (c-g-c)

⇒ ∠ANM = ∠ABC

Mà ∠ABC = ∠AEF

⇒ ∠ANM = ∠AEF

Mà ∠ANM và ∠AEF là hai góc đồng vị

⇒ EF // MN

a: \(A=\dfrac{2x^2-4x+7}{x^2-2x+2}\)

\(=\dfrac{2x^2-4x+4+3}{x^2-2x+2}\)

\(=2+\dfrac{3}{x^2-2x+2}=2+\dfrac{3}{\left(x-1\right)^2+1}\)

\(\left(x-1\right)^2+1>=1\forall x\)

=>\(\dfrac{3}{\left(x-1\right)^2+1}< =\dfrac{3}{1}=3\forall x\)

=>\(A=\dfrac{3}{\left(x-1\right)^2+1}+2< =3+2=5\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-1=0

=>x=1

\(B=x^{15}-8x^{14}+8x^3-8x^2+...-8x^2+8x-5\)

Vì \(x=7\) nên

\(x+1=8\)

\(B=x^{15}-\left(x+1\right)x^{14}+\left(x+1\right)x^3-\left(x+1\right)x^2+...-\left(x+1\right)x^2+\left(x+1\right)x-5\)

\(B=x^{15}-x^{15}-x^{14}+x^{14}+x^3-x^3-x^2+...-x^2+x^2+x-5\)

\(B=x-5\)

\(B=>7-5=2\)

Vậy \(B=2\)

Bài 4:

a: Xét ΔDHE vuông tại H và ΔDKF vuông tại K có

\(\widehat{HDE}\) chung

Do đó: ΔDHE~ΔDKF

b: ΔDHE~ΔDKF

=>\(\dfrac{DH}{DK}=\dfrac{DE}{DF}\)

=>\(\dfrac{2}{DK}=\dfrac{3}{5}\)

=>\(DK=2\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{10}{3}\left(cm\right)\)

c: Xét ΔIKE vuông tại K và ΔIHF vuông tại H có

\(\widehat{KIE}=\widehat{HIF}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIKE~ΔIHF

=>\(\dfrac{IK}{IH}=\dfrac{IE}{IF}\)

=>\(\dfrac{IK}{IE}=\dfrac{IH}{IF}\)

Xét ΔIKH và ΔIEF có

\(\dfrac{IK}{IE}=\dfrac{IH}{IF}\)

\(\widehat{KIH}=\widehat{EIF}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIKH~ΔIEF

=>\(\widehat{IKH}=\widehat{IEF}\)