\(\sqrt[]{5-x^6}+\sqrt[]{3x^4-2}=1\left(1\right)\)

Điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}5-x^6\ge0\\3x^4-2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^6\le5\\x^4\ge\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)  \(\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt[6]{5}\le x\le\sqrt[6]{5}\\\left[{}\begin{matrix}x\le-\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}\\x\ge\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-\sqrt[6]{5}\le x\le-\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}\\\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}\le x\le\sqrt[6]{5}\end{matrix}\right.\) \(\left(2\right)\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) thỏa \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5-x^6\le1\\3x^4-2\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^6\le4\\x^4\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\sqrt[3]{2}\\0\le x\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0\le x\le1\left(3\right)\)

\(\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}\le x\le1\) \(\Rightarrow\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}< x< 1\)

thanks

Dùng phương pháp đánh giá để giải phương trình này em nhé.

\(x\) + \(\sqrt{3+\sqrt{x}}\) = 3 (đk \(x\ge0\))

Với \(x\) = 1 ta có: 

\(x\) + \(\sqrt{3+\sqrt{x}}\) = 1+ \(\sqrt{3+\sqrt{1}}\)  = 1+ \(\sqrt{4}\) =1 + 2 = 3(thỏamãn)

Với 0\(\le\) \(x\) < 1 ta có:

    0  ≤ \(\sqrt{x}\) < 1 

   ⇒  \(\sqrt{3}\) ≤ \(\sqrt{3+\sqrt{x}}\) < \(\sqrt{3+1}\)

  ⇒   \(\sqrt{3}\) \(\le\) \(\sqrt{3+\sqrt{x}}\) < 2

        0     ≤  \(x\) < 1

Cộng vế với vế ta có:

        \(\sqrt{3}\)  ≤ \(x\) + \(\sqrt{3+\sqrt{x}}\)  < 3 (loại)

Với \(x\) > 1 ta có: \(\sqrt{x}\) > 1 

⇒ \(\sqrt{3+\sqrt{x}}\) > \(\sqrt{3+1}\) > 2

                \(x\) > 1

Cộng vế với vế ta có: \(x\) + \(\sqrt{3+\sqrt{x}}\) > 2 + 1 = 3 (loại)

Vậy \(x\) = 1 là nghiệm duy nhất thỏa mãn phương trình

Kết luận: Phương trình có nghiệm  duy nhất là \(x\) = 1

a) \(AH^2=BH.CH=3,6.6,4=23,04\)

\(\Rightarrow AH=4,8\left(cm\right)\)

\(AC^2=AH^2+HC^2=23,04+40,96=64\)

\(\Rightarrow AC=8\left(cm\right)\)

\(AB^2=AH^2+BH^2=23,04+12,96=36\)

\(\Rightarrow AB=6\left(cm\right)\)

\(BC=BH+CH=3,6+6,4=10\left(cm\right)\)

\(tanB=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow B=53^o\)

\(\Rightarrow C=90^o-53^o=37^o\)

b) Xét Δ vuông ABH, có đường cao DH ta có :

\(AH^2=AD.AB\left(1\right)\)

Tương tự  Δ vuông ACH :

\(AH^2=AE.AC\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow AD.AB=AE.AC\)

e. ĐKXĐ: $x\geq \frac{1}{2}$

PT \(\Leftrightarrow \sqrt{(2x-1)-2\sqrt{2x-1}+1}+2\sqrt{(2x-1)-4\sqrt{2x-1}+4}+3\sqrt{(2x-1)-6\sqrt{2x-1}+9}=4\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{2x-1}-1)^2}+2\sqrt{(\sqrt{2x-1}-2)^2}+3\sqrt{(\sqrt{2x-1}-3)^2}=4\)

\(\Leftrightarrow |\sqrt{2x-1}-1|+2|\sqrt{2x-1}-2|+3|\sqrt{2x-1}-3|=4\)

Đặt $\sqrt{2x-1}-3=a$ thì:

$|a+2|+2|a+1|+3a=4$

Nếu $a\geq 0$ thì:

$a+2+2(a+1)+3a=4$

$\Leftrightarrow 6a+4=4\Leftrightarrow a=0\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}=3\Leftrightarrow 2x-1=9\Leftrightarrow x=5$ (tm) 

Nếu $-1\leq a<0$ thì:
$a+2+2(a+1)-3a=4$

$\Leftrightarrow 4=4$ (luôn đúng). Vậy là mọi giá trị $-1\leq a<0$ luôn thỏa mãn đề

$\Leftrightarrow -1\leq \sqrt{2x-1}-3<0$

$\Leftrightarrow 2\leq \sqrt{2x-1}<3\Leftrightarrow \frac{5}{2}\leq x< 5$

Nếu $-2\leq a< -1$ thì:

$a+2-2(a+1)-3a=4$

$\leftrightarrow -4a=4\Leftrightarrow a=-1$ (không tm) 

Nếu $a< -2$ thì:

$-(a+2)-2(a+1)-3a=4$

$\Leftrightarrow -6a-4=4$
$\Leftrightarrow x=\frac{-8}{6}> -2$ (không tm) 

Vậy $\frac{5}{2}\leq x\leq 5$ 

Lời giải:

ĐKXĐ: $x\geq \frac{1}{2}$

PT $\Leftrightarrow [(2x-1)-2\sqrt{2x-1}+1]+[(3x+1)-4\sqrt{3x+1}+4]=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{2x-1}-1)^2+(\sqrt{3x+1}-2)^2=0$

Vì $(\sqrt{2x-1}-1)^2\geq 0; (\sqrt{3x+1}-2)^2\geq 0$ với mọi $x\geq \frac{1}{2}$
Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì:
$\sqrt{2x-1}-1=\sqrt{3x+1}-2=0$
$\Leftrightarrow x=1$ (tm)

\(ab=8;ac=15\)

\(\Rightarrow\dfrac{b}{c}=\dfrac{8}{15}\)

\(tanB=\dfrac{b}{c}=\dfrac{8}{15}\Rightarrow cotB=\dfrac{1}{tanB}=\dfrac{15}{8}\left(tanB.cotB=1\right)\)

\(1+tan^2B=\dfrac{1}{cos^2B}\Rightarrow cos^2B=\dfrac{1}{1+tan^2B}\)

\(\Rightarrow cos^2B=\dfrac{1}{1+\dfrac{64}{225}}\dfrac{1}{\dfrac{289}{225}}=\dfrac{225}{289}\)

\(\Rightarrow cosB=\sqrt[]{\dfrac{225}{289}}=\dfrac{15}{17}\)

\(tanB=\dfrac{sinB}{cosB}\Rightarrow sinB=tanB.cosC=\dfrac{8}{15}.\dfrac{15}{17}\)

\(\Rightarrow sinB=\dfrac{8}{17}\)

Vì \(B+C=90^o\Rightarrow C=90^o-B\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinC=cosB=\dfrac{15}{17}\\cosC=sinB=\dfrac{8}{17}\\tanC=cotB=\dfrac{15}{8}\\cotC=tanB=\dfrac{8}{15}\end{matrix}\right.\)

Để tính các tỉ số lượng giác của góc B, ta sử dụng định nghĩa của các tỉ số lượng giác: sin(B) = cạnh đối diện / cạnh huyền = AC / AB = 15 / 8 cos(B) = cạnh kề / cạnh huyền = BC / AB = ? tan(B) = cạnh đối diện / cạnh kề = AC / BC = ? Để tính tỉ số lượng giác của góc C, ta sử dụng định nghĩa của các tỉ số lượng giác: sin(C) = cạnh đối diện / cạnh huyền = AB / AC = 8 / 15 cos(C) = cạnh kề / cạnh huyền = BC / AC = ? tan(C) = cạnh đối diện / cạnh kề = AB / BC = ? Tuy nhiên, để tính các tỉ số lượng giác của góc C, ta cần tìm giá trị của cạnh BC. Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông để tìm giá trị này: BC^2 = AC^2 - AB^2 BC^2 = 15^2 - 8^2 BC^2 = 225 - 64 BC^2 = 161 BC = √161 Sau đó, ta có thể tính các tỉ số lượng giác của góc B và góc C: sin(B) = 15 / 8 cos(B) = BC / AB = √161 / 8 tan(B) = 15 / √161 sin(C) = 8 / 15 cos(C) = BC / AC = √161 / 15 tan(C) = 8 / √161

Lời giải:

ĐKXĐ: $x\geq 1; y\geq 1$

Áp dụng BĐT Cô-si:

$x\sqrt{y-1}=\sqrt{x^2(y-1)}=\sqrt{x(xy-x)}\leq \frac{x+(xy-x)}{2}=\frac{xy}{2}(1)$

$2y\sqrt{x-1}=2\sqrt{y^2(x-1)}=2\sqrt{y(xy-y)}\leq y+(xy-y)=xy(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}\leq \frac{xy}{2}+xy=\frac{3}{2}xy$

Dấu "=" xảy ra khi $x=xy-x$ và $y=xy-y$
$\Leftrightarrow 2x=xy=2y$

$\Leftrightarrow x=y=2$

ĐKXĐ : \(x\ge1;y\ge1\)

Ta có \(x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}=\dfrac{3xy}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}=3xy\)

\(\Leftrightarrow\left(2x\sqrt{y-1}-xy\right)+\left(4y\sqrt{x-1}-2xy\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(2\sqrt{y-1}-y\right)+2y\left(2\sqrt{x-1}-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2\sqrt{y-1}+y}\left(4y-4-y^2\right)+\dfrac{2y}{2\sqrt{x-1}+x}\left(4x-4-x^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2\sqrt{y-1}+y}\left(y-2\right)^2+\dfrac{2y}{2\sqrt{x-1}+x}\left(x-2\right)^2=0\) (1) 

Dễ thấy \(\dfrac{x}{2\sqrt{y-1}+y}>0;\dfrac{y}{2\sqrt{x-1}+x}>0\forall x;y\ge1\)

nên (1) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=2\)

Vậy x = y = 2 là nghiệm phương trình 

Ta có A và N cùng nhìn MC dưới góc 90 độ

=> AMNC là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BAN}=\widehat{BCM}\) (góc nội tiếp cùng chắn cungMN)

Xét tg ABN và tg CBM có

\(\widehat{BAN}=\widehat{BCM}\) (cmt)

\(\widehat{ABC}\) chung

=> tg ABN đồng dạng tg CBM (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AN}{CM}=\dfrac{AB}{BC}\)

Xét tg vuông ABC

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}\)

\(\Rightarrow\sin\widehat{C}=\dfrac{AN}{CM}\) (đpcm)