a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH=\sqrt{4\cdot9}=6\left(cm\right)\)

Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

=>DE=6(cm)

b: ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{EAH}=\widehat{EDH}\)

mà \(\widehat{EAH}+\widehat{HCA}=90^0\)(ΔHAC vuông tại H)

và \(\widehat{EDH}+\widehat{MDH}=\widehat{MDE}=90^0\)

nên \(\widehat{MDH}=\widehat{HCA}\)

=>\(\widehat{MDH}=\widehat{MHD}\)

=>ΔMDH cân tại M

Ta có: \(\widehat{MDH}+\widehat{MDB}=\widehat{HDB}=90^0\)

\(\widehat{MBD}+\widehat{MHD}=90^0\)(ΔHDB vuông tại D)

mà \(\widehat{MDH}=\widehat{MHD}\)

nên \(\widehat{MDB}=\widehat{MBD}\)

=>MB=MD

=>MB=MH

=>M là trung điểm của BH

c: Ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{HAD}=\widehat{HED}\)

mà \(\widehat{HAD}+\widehat{HBA}=90^0\)(ΔHAB vuông tại H)

và \(\widehat{HED}+\widehat{HEN}=\widehat{NED}=90^0\)

nên \(\widehat{HEN}=\widehat{HBA}\)

=>\(\widehat{NEH}=\widehat{NHE}\)

=>NE=NH

Ta có: \(\widehat{NEH}+\widehat{NEC}=\widehat{CEH}=90^0\)

\(\widehat{NHE}+\widehat{NCE}=90^0\)(ΔCEH vuông tại E)

mà \(\widehat{NEH}=\widehat{NHE}\)

nên \(\widehat{NEC}=\widehat{NCE}\)

=>NE=NC

=>NH=NC

=>N là trung điểm của HC

Để đây là phương trình bậc nhất một ẩn thì

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-1=0\\m\ne0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m^2=1\\m\ne0\end{matrix}\right.\)

=>\(m\in\left\{1;-1\right\}\)

Ta nhận thấy

\(-x^2+2x-2=-\left[\left(x^2-2x+1\right)+1\right]\)

Ta có

\(x^2-2x+1\ge0\Rightarrow\left(x^2-2x+1\right)+1\ge1\)

\(\Rightarrow-\left[\left(x^2-2x+1\right)+1\right]\le-1\)

\(\Rightarrow PT\Leftrightarrow8x-4=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

\(\left(8x-4\right)\left(-x^2+2x-2\right)=0\Leftrightarrow\left(8x-4\right)\left(x^2-2x+2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}8x-4=0\\x^2-2x+2=0\left(loai\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\)

do \(x^2-2x+2=x^2-2x+1+1=\left(x-1\right)^2+1>0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+3y=1\\\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{2}y=-\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{2}{3}x+y=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{2}{3}x-y=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{2}{3}x+y+\dfrac{2}{3}x-y=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\\y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}0x=0\\y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=\dfrac{2x+1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+3y=1\\\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{2}y=-\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.=>\left\{{}\begin{matrix}-2x+3y=1\\2x-3y=-1\end{matrix}\right.=>\left\{{}\begin{matrix}0x=0\\-2x+3y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy có vô số nghiệm

\(\left\{{}\begin{matrix}0,2x+0,5y=0,7\\4x+10y=9\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}4x+10y=3,5\\4x+10y=9\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}0x=5,5\left(ko\exists\right)\\4x+2y=3,5\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}0,2x+0,5y=0,7\\4x+10y=9\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+10y=14\\4x+10y=9\end{matrix}\right.\)

=> Hpt vô nghiệm 

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=8\\\dfrac{1}{2}x-y=18\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=8\\x-2y=36\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x=44\\x+2y=8\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=22\\y=-7\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=8\\\dfrac{1}{2}x-y=18\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y=8\\x-2y=36\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=44\\x-2y=36\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=22\\2y=x-36=22-36=-14\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=22\\x=-\dfrac{14}{2}=-7\end{matrix}\right.\)

Vậy: ...

Gọi H là giao điểm của AG với BC

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

H là giao điểm của AG với BC

Do đó: H là trung điểm của BC và \(AG=2GH;GH=\dfrac{1}{3}HA\)

Xét ΔHAB có GD//AB

nên \(\dfrac{HD}{HB}=\dfrac{HG}{HA}\)

=>\(\dfrac{HD}{HB}=\dfrac{1}{3}\)

=>\(\dfrac{HD}{DB}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(\dfrac{BD}{BH}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(BD=\dfrac{2}{3}BH=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot BC=\dfrac{1}{3}BC\)

a: Xét ΔBAC vuông tại B có BH là đường cao

nên \(BH^2=AH\cdot HC=9\cdot16=144=12^2\)

=>BH=12(cm)

ΔBHA vuông tại H

=>\(BH^2+HA^2=BA^2\)

=>\(BA=\sqrt{12^2+9^2}=15\left(cm\right)\)

ΔBHC vuông tại H

=>\(HB^2+HC^2=BC^2\)

=>\(BC=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

b: Xét ΔBHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(BE\cdot BC=BH^2\left(1\right)\)

Xét ΔBAC vuông tại B có BH là đường cao

nên \(BH^2=HC\cdot HA\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BE\cdot BC=HA\cdot HC\)

c: Xét ΔABC có BD là phân giác

nên \(BD=\dfrac{2\cdot BA\cdot BC}{BA+BC}\cdot cos\left(\dfrac{ABC}{2}\right)=\dfrac{2\cdot BA\cdot BC}{BA+BC}\cdot cos45\)

=>\(BD=\dfrac{2\cdot BA\cdot BC}{BA+BC}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}\cdot BA\cdot BC}{BA+BC}\)

=>\(\dfrac{1}{BD}=\dfrac{BA+BC}{\sqrt{2}\cdot BA\cdot BC}\)

=>\(\dfrac{\sqrt{2}}{BD}=\dfrac{BA+BC}{BA\cdot BC}=\dfrac{1}{BC}+\dfrac{1}{BA}\)

Ta có:

\(\dfrac{3-x}{3+x}=\dfrac{-x+3}{x+3}=\dfrac{-\left(x+3\right)+6}{x+3}=-1+\dfrac{6}{x+3}\)

Để biểu thức nhận giá trị nguyên thì: 6 ⋮ x + 3

=> x + 3 ∈ Ư(6) = {1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6} 

=> x ∈ {-2; -4; -1; -5; 0; -6; 3; -9}