Gọi vận tốc của ô tô thứ hai là x(km/h)

(Điều kiện: x>0)

vận tốc của ô tô thứ nhất là x+12(km/h)

Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường là \(\dfrac{240}{x}\left(giờ\right)\)

Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường là \(\dfrac{240}{x+12}\left(giờ\right)\)

Ô tô thứ nhất đến trước ô tô thứ hai 100p=5/3 giờ nên ta có:

\(\dfrac{240}{x}-\dfrac{240}{x+12}=\dfrac{5}{3}\)

=>\(\dfrac{48}{x}-\dfrac{48}{x+12}=\dfrac{1}{3}\)

=>\(\dfrac{48x+576-48x}{x\left(x+12\right)}=\dfrac{1}{3}\)

=>\(x\left(x+12\right)=576\cdot3=1728\)

=>\(x^2+12x-1728=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=36\left(nhận\right)\\x=-48\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

vậy: vận tốc của ô tô thứ hai là 36km/h

vận tốc của ô tô thứ nhất là 36+12=48km/h

Gọi độ dài quãng đường AB là x(km)

(Điều kiện: x>0)

Thời gian đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{40}\left(giờ\right)\)

Thời gian đi từ B về A là \(\dfrac{x}{32}\left(giờ\right)\)

Thời gian đi ít hơn thời gian về là 1 giờ nên \(\dfrac{x}{32}-\dfrac{x}{40}=1\)

=>\(\dfrac{5x-4x}{160}=1\)

=>\(\dfrac{x}{160}=1\)

=>x=160(nhận)

vậy: Độ dài quãng đường AB là 160km

                            Giải:  

Cùng một quãng đường vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian.

Tỉ số thời gian lúc đi và thời gian lúc về là: 32 : 40 = \(\dfrac{4}{5}\) 

Gọi thời gian lúc đi là t  (giờ); t > 0

Thì thời gian lúc về là: 1 : \(\dfrac{4}{5}\) x t = \(\dfrac{5}{4}\)t

Theo bài ra ta có: \(\dfrac{5}{4}\)t -  t  = 1

                                t.(\(\dfrac{5}{4}-1\)) =1

                                \(\dfrac{1}{4}\)t = 1

                                   t = 4 x 1 

                                   t = 4 

Vậy Thời gian đi từ A đến B là 4 giờ.

Quãng đường từ A đến B dài là: 4 x 40 = 160 (km)

Kết luận: Quãng đường AB dài 160 km. 

Gọi x (km/h) là vận tốc của ô tô thứ nhất (x > 10)

Vận tốc của ô tô thứ hai là: x - 10 (km/h)

Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB: 360/x (h)

Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB: 360/(x - 10) (h)

1 giờ 12 phút = 6/5 h

Theo đề bài ta có phương trình:

360/(x - 10) - 360/x = 6/5

360.5x - 360.5(x - 10) = 6x.(x - 10)

1800x - 1800x + 18000 = 6x² - 60x

6x² - 60x - 18000 = 0

x² - 10x - 3000 = 0

x² - 60x + 50x - 3000 = 0

(x² - 60x) + (50x - 3000) = 0

x(x - 60) + 50(x - 60) = 0

(x - 60)(x + 50) = 0

x - 60 = 0 hoặc x + 50 = 0

*) x - 60 = 0

x = 60 (nhận)

*) x + 50 = 0

x = -50 (loại)

Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là 60 km/h, vận tốc của ô tô thứ hai là 60 - 10 = 50 km/h

Xét ΔABD vuông tại D và ΔACE vuông tại E có

BD=CE

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left(=90^0-\widehat{BAD}\right)\)

Do đó: ΔABD=ΔACE

=>AB=AC
=>ΔABC cân tại A

Câu 17:

a: ΔBAC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC}{AC}\)

=>\(\dfrac{DB}{6}=\dfrac{DC}{8}\)

=>\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}\)

mà DB+DC=BC=10cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{DB+DC}{3+4}=\dfrac{10}{7}\)

=>\(DB=3\cdot\dfrac{10}{7}=\dfrac{30}{7}\left(cm\right);DC=4\cdot\dfrac{10}{7}=\dfrac{40}{7}\left(cm\right)\)

b: Kẻ DH\(\perp\)AC

=>DH là khoảng cách từ D xuống AC

Ta có: DH\(\perp\)AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: DH//AB

Xét ΔBAC có DH//AB

nên \(\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{DH}{AB}\)

=>\(\dfrac{DH}{6}=\dfrac{80}{7}:20=\dfrac{4}{7}\)

=>\(DH=\dfrac{4}{7}\cdot6=\dfrac{24}{7}\left(cm\right)\)

Câu 16:

\(\Omega=\left\{10;11;...;29\right\}\)

=>\(n\left(\Omega\right)=29-10+1=30-10=20\)

Gọi A là biến cố: "Số viết được là số có hai chữ số giống nhau"

=>A={22;33}

=>n(A)=2

=>\(P\left(A\right)=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(x^2+1)[1+(y+z)^2]\geq (x+y+z)^2$

$\Rightarrow \frac{3}{4}(x^2+1)[1+(y+z)^2]\geq \frac{3}{4}(x+y+z)^2$
Giờ ta chỉ cần cm:

$(y^2+1)(z^2+1)\geq \frac{3}{4}[1+(y+z)^2]$
$\Leftrightarrow 4(y^2z^2+y^2+z^2+1)\geq 3(y^2+z^2+2yz+1)$

$\Leftrightarrow 4y^2z^2+1+y^2+z^2-6yz\geq 0$

$\Leftrightarrow (2yz-1)^2+(y-z)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(x^2+1)[1+(y+z{)}^2]\ge (x+y+z{)}^2$

$\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}(x^2+1)[1+(y+z{)}^2]\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}(x+y+z{)}^2$
Giờ ta chỉ cần cm:

$(y^2+1)(z^2+1)\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}[1+(y+z{)}^2]$
$\iff 4(y^2{z}^2+y^2+z^2+1)\ge 3(y^2+z^2+2yz+1)$

$\iff 4y^2{z}^2+1+y^2+z^2-6yz\ge 0$

$\iff (2yz-1{)}^2+(y-z{)}^2\ge 0$ (luôn đúng)

Do đó ta có điều phải chứng minh