Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2=2x-3m\Leftrightarrow x^2-2x+3m=0\) (1)

(P) cắt (d) tại 2 điểm khi (1) có 2 nghiệm \(\Rightarrow\Delta'=1-3m\ge0\Rightarrow m\le\dfrac{1}{3}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=3m\end{matrix}\right.\)

\(x_1.x_2^2-x_2\left(3m+2x_1\right)=12\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2.x_2-3mx_2-2x_1x_2=12\)

\(\Leftrightarrow3mx_2-3mx_2-6m=12\)

\(\Rightarrow m=-2\)

a. Hàm đồng biến khi \(x>0\Leftrightarrow1-m>0\Rightarrow m< 1\)

b. Do  đồ thị cắt đường thẳng \(y=-x+3\) tại điểm có tung độ bằng 2 nên hoành độ của giao điểm thỏa mãn:

\(-x+3=2\Rightarrow x=1\Rightarrow\) tọa độ giao điểm là \(\left(1;2\right)\)

Thay vào pt (P): \(\left(1-m\right).1^2=2\Rightarrow m=-1\)

ptđt (d) là gì bạn ? 

Lời giải:

a. PT hoành độ giao điểm: $x^2-2(m+2)x-m^2-7=0(*)$
$(d)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (*)$ có 2 nghiệm phân biệt 

$\Leftrightarrow \Delta'=(m+2)^2+m^2+7>0$ (luôn đúng với mọi $m\in\mathbb{R}$)

Vậy (d), (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi $M\in\mathbb{R}$

b. 

$x_1,x_2$ chính là 2 nghiệm của $(*)$
Theo định lý Viet:

$x_1+x_2=2(m+2)$

$x_1x_2=-(m^2+7)$

Khi đó:

$x_1^2+x_2^2=x_1x_2+12$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2=3x_1x_2+12$

$\Leftrightarrow 4(m+2)^2=-3(m^2+7)+12$

$\Leftrightarrow 7m^2+16m+25=0$ 

PT này vô nghiệm nên không tồn tại $m$ thỏa đk đã cho

Hoành độ giao điểm (P) ; (d) tm pt 

\(x^2-6x+m+4=0\)

\(\Delta'=9-\left(m+4\right)=-m+5\)

Để (P) cắt (d) tại 2 điểm pb khi \(5-m>0\Leftrightarrow m< 5\)

Theo Vi et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=6\\x_1x_2=m+4\end{cases}}\)

Thay vào ta được \(6.2020-2021.\left(m+4\right)=2014\)

\(\Leftrightarrow4036-2021m=2014\Leftrightarrow m=\frac{2022}{2021}\)(tm) 

Pt hoành độ giao điểm: \(x^2-6x+m+4=0\) (1)

(P) cắt (d) tại 2 điểm pb khi: \(\Delta'=9-\left(m+4\right)>0\Rightarrow m< 5\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=6\\x_1x_2=m+4\end{matrix}\right.\)

\(2020\left(x_1+x_2\right)-2021x_1x_2=2014\)

\(\Leftrightarrow2020.6-2021\left(m+4\right)=2014\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{2022}{2021}\)

a, (d) đi qua A(1;5) hay A(1;5) thuộc (d)

<=> \(5=4m-3\Leftrightarrow m=2\)

b, Hoành độ giao điểm (P) ; (d) tm pt 

\(x^2-2mx-2m+3=0\)

\(\Delta'=m^2-\left(-2m+3\right)=m^2+2m-3\)

Để (P) tiếp xúc (d) thì pt có nghiệm kép khi 

\(m^2+2m-3=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=1\\m=-3\end{cases}}\)

Hoành độ giao điểm (P); (d) tm pt 

\(\frac{1}{4}x^2+x-m=0\Leftrightarrow x^2+4x-4m=0\)

\(\Delta'=4-\left(-4m\right)=4m+4\)

Để (P) cắt (d) tại 2 điểm pb khi m >= -1 

Để (P) ; (d) cắt nhau tại 2 điểm pb có hoành độ trái dấu khi \(x_1x_2=-4m< 0\Leftrightarrow m>0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m\ge-1\\m>0\end{cases}}\Leftrightarrow m>0\)

chu vi hình chữ nhật

Điểm có tung độ bằng -8 có hoành độ thỏa mãn:

\(-2x^2=-8\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2\)

Vậy có 2 điểm thỏa mãn là \(\left(2;-8\right)\) và \(\left(-2;-8\right)\)